Um projetil é lançado no ar. A função que descreve sua altura em relação ao solo em função do tempo é dada por:
sendo
a altura inicial,
a velocidade inicial e
a força da gravidade (constante).
Depois de quanto tempo o projetil atinge o solo?
Depois de quanto tempo o projetil atinge o solo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um projetil sendo lançado no ar, e a altura dele em relação ao solo ao longo do tempo é dada pela função:
Aqui, $ h_{0} $ é a altura inicial, $ v_{0} $ é a velocidade inicial, e $ g $ é a aceleração da gravidade. Nosso objetivo é descobrir depois de quanto tempo o projetil vai atingir o solo, ou seja, quando a altura $ h(t) $ for igual a zero. Para resolver isso, vamos usar um pouquinho de matemática básica envolvendo equações quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa atingir o solo. Quando o projetil toca o chão, a altura dele é zero. Então, queremos encontrar o valor de $ t $ que satisfaz a equação:
Substituindo na função original, temos:
Passo 3
Agora, essa é uma equação do segundo grau na forma padrão:
Vamos reescrever para deixar mais claro:
onde:
- $ a = \frac{g}{2} $
- $ b = v_{0} $
- $ c = h_{0} $
Passo 4
Para resolver essa equação quadrática, vamos usar a Fórmula de Bhaskara, que é uma técnica padrão para encontrar as raízes de equações do segundo grau. A fórmula é:
Isso nos dará duas soluções possíveis para $ t $.
Passo 5
Vamos aplicar os valores que identificamos:
Substituindo na fórmula de Bhaskara:
Simplificando:
Passo 6
Agora, precisamos analisar as soluções. Como estamos falando de tempo, geralmente desconsideramos a solução negativa, pois não faz sentido ter um tempo negativo no contexto.
Então, a solução que nos interessa é:
Resposta
Depois de calcular, o projetil atinge o solo no tempo: