Um projetil é lançado no ar. A função que descreve sua altura em relação ao solo em função do tempo é dada por:
h(t)=h0+v0 t+g t^22
sendo h0 a altura inicial, v0 a velocidade inicial e g a força da gravidade (constante).
Depois de quanto tempo o projetil atinge o solo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um projetil sendo lançado no ar, e a altura dele em relação ao solo ao longo do tempo é dada pela função:
h(t) = h0 + v0 t + g t^22
Aqui, $ h_{0} $ é a altura inicial, $ v_{0} $ é a velocidade inicial, e $ g $ é a aceleração da gravidade. Nosso objetivo é descobrir depois de quanto tempo o projetil vai atingir o solo, ou seja, quando a altura $ h(t) $ for igual a zero. Para resolver isso, vamos usar um pouquinho de matemática básica envolvendo equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa atingir o solo. Quando o projetil toca o chão, a altura dele é zero. Então, queremos encontrar o valor de $ t $ que satisfaz a equação:
t
Substituindo na função original, temos:
h(t) = 0

Passo 3

Agora, essa é uma equação do segundo grau na forma padrão:
g2 t^2 + v0 t + h0 = 0
Vamos reescrever para deixar mais claro:
a t^2 + b t + c = 0
onde:
  • $ a = \frac{g}{2} $
  • $ b = v_{0} $
  • $ c = h_{0} $

Passo 4

Para resolver essa equação quadrática, vamos usar a Fórmula de Bhaskara, que é uma técnica padrão para encontrar as raízes de equações do segundo grau. A fórmula é:
t = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a
Isso nos dará duas soluções possíveis para $ t $.

Passo 5

Vamos aplicar os valores que identificamos:
a = g2, b = v0, c = h0
Substituindo na fórmula de Bhaskara:
t = -v0 pm raizv0^2 - 4 cdot g2 cdot h0 2 cdot g2
Simplificando:
t = -v0 pm raizv0^2 - 2 g h0 g

Passo 6

Agora, precisamos analisar as soluções. Como estamos falando de tempo, geralmente desconsideramos a solução negativa, pois não faz sentido ter um tempo negativo no contexto.
Então, a solução que nos interessa é:
t = -v0 + raizv0^2 - 2 g h0 g

Resposta

Depois de calcular, o projetil atinge o solo no tempo:
t = -v0 + raizv0^2 - 2 g h0 g

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