Calcule o valor da seguinte integral
integral duplaS(2 x tan ^-1(z y+1)+2 z^2 y+z^2) d S
onde S:=(x, y, z) in R^3 ; x^2+y^2+z^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla sobre a superfície $ S $, que é a esfera unitária $ x^2 + y^2 + z^2 = 1 $. O conteúdo que vamos usar envolve cálculo de integrais de superfície e algumas propriedades de simetria de integrais sobre esferas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções em superfícies esféricas e aproveitar as simetrias para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função que estamos integrando:
2x tan^-1(zy + 1) + 2z^2 y + z^2
Vamos separar essa função em três partes para facilitar:
  1. $ 2x \tan^{-1}(zy + 1) $
  2. $ 2z^2 y $
  3. $ z^2 $

Passo 3

Vamos considerar a simetria da esfera. A esfera é simétrica em relação aos eixos $ x $, $ y $ e $ z $. Isso significa que funções ímpares em $ x $ ou $ y $ vão se anular quando integradas sobre a esfera inteira, porque para cada ponto $ (x, y, z) $, existe um ponto $ (-x, y, z) $ que cancela a contribuição.

Passo 4

Analisando as partes da função:
  1. $ 2x \tan^{-1}(zy + 1) $: Esta expressão é ímpar em $ x $ porque se substituirmos $ x $ por $ -x $, o sinal muda. Assim, a integral dessa parte sobre a esfera será zero.
  2. $ 2z^2 y $: Aqui, a função é ímpar em $ y $ porque substituindo $ y $ por $ -y $, o sinal muda. Portanto, a integral dessa parte também será zero.

Passo 5

A única parte que resta é $ z^2 $. Esta função é simétrica em todas as direções, então precisamos calcular essa integral. Sabemos que, em uma esfera, a integral de $ z^2 $ pode ser relacionada às integrais de $ x^2 $, $ y^2 $ e $ z^2 $ que são iguais devido à simetria.

Passo 6

Sabemos que em uma esfera unitária, a integral de $ x^2 $ sobre a superfície é igual à integral de $ y^2 $ e de $ z^2 $. E como $ x^2 + y^2 + z^2 = 1 $ na superfície da esfera, temos:
x^2
Como as três integrais são iguais:
y^2

Passo 7

Como a integral da parte $ z^2 $ é $ \frac{4\pi}{3} $, ela será a única contribuição na nossa integral original.

Resposta

4pi3

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