Calcule o valor da seguinte integral
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla sobre a superfície $ S $, que é a esfera unitária $ x^2 + y^2 + z^2 = 1 $. O conteúdo que vamos usar envolve cálculo de integrais de superfície e algumas propriedades de simetria de integrais sobre esferas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções em superfícies esféricas e aproveitar as simetrias para simplificar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função que estamos integrando:
Vamos separar essa função em três partes para facilitar:
- $ 2x \tan^{-1}(zy + 1) $
- $ 2z^2 y $
- $ z^2 $
Passo 3
Vamos considerar a simetria da esfera. A esfera é simétrica em relação aos eixos $ x $, $ y $ e $ z $. Isso significa que funções ímpares em $ x $ ou $ y $ vão se anular quando integradas sobre a esfera inteira, porque para cada ponto $ (x, y, z) $, existe um ponto $ (-x, y, z) $ que cancela a contribuição.
Passo 4
Analisando as partes da função:
-
$ 2x \tan^{-1}(zy + 1) $: Esta expressão é ímpar em $ x $ porque se substituirmos $ x $ por $ -x $, o sinal muda. Assim, a integral dessa parte sobre a esfera será zero.
-
$ 2z^2 y $: Aqui, a função é ímpar em $ y $ porque substituindo $ y $ por $ -y $, o sinal muda. Portanto, a integral dessa parte também será zero.
Passo 5
A única parte que resta é $ z^2 $. Esta função é simétrica em todas as direções, então precisamos calcular essa integral. Sabemos que, em uma esfera, a integral de $ z^2 $ pode ser relacionada às integrais de $ x^2 $, $ y^2 $ e $ z^2 $ que são iguais devido à simetria.
Passo 6
Sabemos que em uma esfera unitária, a integral de $ x^2 $ sobre a superfície é igual à integral de $ y^2 $ e de $ z^2 $. E como $ x^2 + y^2 + z^2 = 1 $ na superfície da esfera, temos:
Como as três integrais são iguais:
Passo 7
Como a integral da parte $ z^2 $ é $ \frac{4\pi}{3} $, ela será a única contribuição na nossa integral original.