No nosso curso discutimos que a integral de linha de um campo escalar também admite uma interpretação geométrica, além da interpretação física que tratamos. Dissemos que \int_{C} f d s pode ser vista como "a área de uma cerca"que tem como base a curva C e altura dada por f(x, y) em cada (x, y) \in C. Formalize esta interpretação usando somas de Riemann.

Passo 1

O enunciado pede para formalizar, via somas de Riemann, a interpretação geométrica da integral de linha de um campo escalar \displaystyle \int_{C} f\,ds
como “área de uma cerca” cuja base é a curva C e cuja altura em cada ponto (x,y)\in C é dada por f(x,y). Vamos usar a parametrização da curva e construir uma soma de Riemann que se interprete como soma de áreas de retângulos elementares.

Passo 2

Seja \mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^2 uma parametrização de C. Particionamos o intervalo [a,b] em subintervalos
a = t_{0} < t_{1} < \cdots < t_{n} = b
de tal forma que, no i-ésimo subintervalo [t_{i-1},t_{i}], a curva tem comprimento aproximado por
\Delta s_{i} \approx \bigl\|\mathbf{r}(t_{i}) - \mathbf{r}(t_{i-1})\bigr\|.
Em cada subintervalo escolhemos um ponto de amostragem t_{i}^*\in[t_{i-1},t_{i}] e definimos P_{i}^* = \mathbf{r}(t_{i}^*). A “cerca” sobre esse pequeno trecho de base \Delta s_i se comporta como um retângulo de altura f\bigl(P_i^*\bigr).

Passo 3

A área aproximada desse painel de cerca é
\text{área}_i \approx f\bigl(P_i^*\bigr)\,\Delta s_i.á
Somando sobre todos os painéis obtemos a soma de Riemann
S_n \;=\;\sum_{i=1}^{n} f\bigl(P_i^*\bigr)\,\Delta s_i,
que representa a área aproximada de toda a cerca ao longo de C.

Passo 4

Quando refazemos a partição de [a,b] de modo que o diâmetro \|\Delta\|=\max_i(t_i-t_{i-1}) tende a zero, essas somas convergem para a integral de linha de f sobre C. Logo a área exata da cerca é
\int_{C} f\,ds \;=\;\lim_{\|\Delta\|\to 0} \sum_{i=1}^{n} f\bigl(P_i^*\bigr)\,\Delta s_i.

Resposta

\int_{C} f\,ds \;=\;\lim_{\|\Delta\|\to 0} \sum_{i=1}^{n} f\bigl(P_i^*\bigr)\,\Delta s_i,
que formaliza a ideia de somar as áreas dos “retângulos” de base \Delta s_i e altura f(P_i^*).

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