No nosso curso discutimos que a integral de linha de um campo escalar também admite uma interpretação geométrica, além da interpretação física que tratamos. Dissemos que \int_{C} f d s pode ser vista como "a área de uma cerca"que tem como base a curva C e altura dada por f(x, y) em cada (x, y) \in C. Formalize esta interpretação usando somas de Riemann.
Passo 1
O enunciado pede para formalizar, via somas de Riemann, a interpretação geométrica da integral de linha de um campo escalar \displaystyle \int_{C} f\,ds
como “área de uma cerca” cuja base é a curva C e cuja altura em cada ponto (x,y)\in C é dada por f(x,y). Vamos usar a parametrização da curva e construir uma soma de Riemann que se interprete como soma de áreas de retângulos elementares.
Passo 2
Seja \mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^2 uma parametrização de C. Particionamos o intervalo [a,b] em subintervalos
a = t_{0} < t_{1} < \cdots < t_{n} = b
de tal forma que, no i-ésimo subintervalo [t_{i-1},t_{i}], a curva tem comprimento aproximado por
Em cada subintervalo escolhemos um ponto de amostragem t_{i}^*\in[t_{i-1},t_{i}] e definimos P_{i}^* = \mathbf{r}(t_{i}^*). A “cerca” sobre esse pequeno trecho de base \Delta s_i se comporta como um retângulo de altura f\bigl(P_i^*\bigr).
que representa a área aproximada de toda a cerca ao longo de C.
Passo 4
Quando refazemos a partição de [a,b] de modo que o diâmetro \|\Delta\|=\max_i(t_i-t_{i-1}) tende a zero, essas somas convergem para a integral de linha de f sobre C. Logo a área exata da cerca é