A corrente elétrica é definida pela quantidade de carga elétrica que passa em uma certa seção transversão em um intervalo de tempo, ou seja
I=\frac{Q}{t}.
Determine o elemento de carga elétrica. Sabendo em um certo condutor é aplicada uma corrente elétrica constante de 10 A por 3 segundos, quanta carga elétrica passou pelo condutor?
Se a corrente crescer de 0 A até 10 A de forma linear, em 3 s , quanta carga passou pelo condutar?

Passo 1

O enunciado dá duas situações e pede três coisas. Vou listar de forma bem clara o que foi pedido e o que foi fornecido:
  • Perguntas que o enunciado faz:
    1. Determinar o elemento de carga elétrica (isto é, a expressão que relaciona a pequena carga que passa num intervalo de tempo infinitesimal).
    2. Calcular quanta carga passou por um condutor quando uma corrente constante de 10\\ \mathrm{A} é aplicada por 3\\ \mathrm{s}.
    3. Calcular quanta carga passou pelo condutor quando a corrente cresce linearmente de 0\\ \mathrm{A} até 10\\ \mathrm{A} em 3\\ \mathrm{s}.
  • Informações relevantes dadas:
    • Corrente constante na primeira situação: I=10\\ \mathrm{A}.
    • Tempo total na primeira situação: t=3\\ \mathrm{s}.
    • Na segunda situação a corrente varia linearmente de 0 até 10\\ \mathrm{A} em 3\\ \mathrm{s}.
    • Definição básica: corrente elétrica é a quantidade de carga por unidade de tempo, isto é I=\dfrac{Q}{t} (essa relação será usada e generalizada).

Passo 2

Entendendo o elemento de carga elétrica de forma didática (a “aula rápida”): pense assim — a corrente mede quanto de carga passa por uma seção por segundo. Se numa pequena fatia de tempo \,dt, passar uma pequena carga \,dQ, então a definição de corrente nos leva à relação entre essas grandezas. Escrevemos isso como
I=\frac{dQ}{dt}.
Aqui:
  • I é a corrente instantânea (em ampères, \mathrm{A}),
  • dQ é a pequena quantidade de carga que passa na pequena variação de tempo dt (em coulombs, \mathrm{C}),
  • dt é o pequeno intervalo de tempo (em segundos, \mathrm{s}).
Isolando dQ obtemos o elemento de carga elétrica:
dQ = I\,dt.
Explicação física: isso diz que a carga que passa num intervalo dt é a corrente naquele instante multiplicada por dt. Unidade checada: \mathrm{A}\cdot\mathrm{s} = \mathrm{C} (porque 1\\ \mathrm{A}=1\\ \mathrm{C/s}).

Passo 3

Como usamos o elemento de carga para obter a carga total que passou em um intervalo de tempo? Integrando dQ sobre o tempo:
Q=\int_{t_0}^{t_1} dQ = \int_{t_0}^{t_1} I(t)\,dt.
Se a corrente é constante, I(t)=I não depende de t, então a integral é simples e vira multiplicação:
Q = \int_{0}^{t} I\,dt = I\int_{0}^{t} dt = I\cdot t.
Aplicando aos números do enunciado (situação 1): I=10\\ \mathrm{A} e t=3\\ \mathrm{s}. Logo
Q = 10\\ \mathrm{A}\times 3\\ \mathrm{s} = 30\\ \mathrm{C}.
Interpretação: passaram 30 coulombs pelo condutor durante os 3 segundos.

Passo 4

Agora a situação em que a corrente cresce linearmente de 0 até 10\\ \mathrm{A} em 3\\ \mathrm{s}. Primeiro, escrevemos a expressão de I(t). Uma variação linear com essas condições tem a forma
I(t)=k\,t,
porque em t=0 queremos I(0)=0 e em t=3 queremos I(3)=10. Determinamos k impondo I(3)=k\cdot 3=10, daí
k=\frac{10}{3}\\ \mathrm{\frac{A}{s}}.
Logo
I(t)=\frac{10}{3}\,t\quad\text{para }0\le t\le 3.

Passo 5

Calculamos a carga total integrando I(t) de 0 a 3:
Q=\int_{0}^{3} I(t)\,dt = \int_{0}^{3} \frac{10}{3}\,t\,dt.
Fazendo a integral:
Q=\frac{10}{3}\int_{0}^{3} t\,dt = \frac{10}{3}\cdot\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{3} = \frac{10}{3}\cdot\frac{3^{2}}{2} = \frac{10}{3}\cdot\frac{9}{2}.
Simplificando:
Q = \frac{10\cdot 9}{3\cdot 2} = \frac{90}{6} = 15\\ \mathrm{C}.
Observação alternativa (mais intuitiva): o gráfico I versus t é um triângulo de base 3\\ \mathrm{s} e altura 10\\ \mathrm{A}. A carga é a área sob essa curva, ou seja a área do triângulo:
Q = \tfrac{1}{2}\times\text{base}\times\text{altura} = \tfrac{1}{2}\times 3\times 10 = 15\\ \mathrm{C},
chegando ao mesmo resultado.

Resposta

dQ = I\,dt
Q_{\text{constante}} = 30\\ \mathrm{C}
Q_{\text{linear}} = 15\\ \mathrm{C}

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