Calcule o valor da integral ou mostre que ela é divergente:
\int_{0}^{+\infty} \frac{3 d t}{t^{2}-t}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{+\infty} \frac{3\,dt}{t^{2}-t}.
Informações e observações imediatas extraídas do enunciado:
  • O integrando é \dfrac{3}{t^{2}-t}.
  • O denominador anula-se em t=0 e em t=1. Logo há singularidades (pontos onde a função não está definida) em \,t=0 e \,t=1.
  • O intervalo de integração [0,+\infty) inclui ambos os pontos singulares e o infinito, portanto trata-se de uma integral imprópria com singularidades internas e com limite infinito.
  • O que o enunciado pede: determinar o valor da integral ou mostrar que ela é divergente.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do porquê de dividir): como há singularidade em t=1 dentro do intervalo (0,+\infty) e em t=0 no extremo de integração, vamos dividir a integral em partes onde cada singularidade aparece isolada; se qualquer uma dessas partes divergir, a integral total diverge. Assim escrevemos
\int_{0}^{+\infty}\frac{3\,dt}{t^{2}-t}=\int_{0}^{1}\frac{3\,dt}{t^{2}-t}+\int_{1}^{+\infty}\frac{3\,dt}{t^{2}-t},
onde cada termo à direita é entendido como limite apropriado (por exemplo, \int_{0}^{1} será tratado como limite quando nos aproximamos de 0^+ e de 1^-). Se uma dessas integrais parciais for divergente, a integral original é divergente.

Passo 3

Fazer a decomposição em frações parciais (isso facilita integrar e analisar os comportamentos perto das singularidades).
Procuramos A,B tais que
\frac{3}{t(t-1)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t-1}.
Multiplicando por t(t-1) obtemos
3 = A(t-1)+Bt.
Tomando t=0 3=-A\Rightarrow A=-3. Tomando t=1 3=B\Rightarrow B=3.
Logo
\frac{3}{t^{2}-t}=\frac{-3}{t}+\frac{3}{t-1}.

Passo 4

Encontrar primitiva e interpretar o comportamento próximo das singularidades.
Integrando termo a termo:
\int\left(\frac{-3}{t}+\frac{3}{t-1}\right)dt=-3\ln|t|+3\ln|t-1|+C.
Usando propriedades do logaritmo, uma forma compacta é
F(t)=3\ln\left|\frac{t-1}{t}\right|+C.
Observação didática: \ln|t| diverge para -\infty quando t\to0^+; por isso qualquer termo proporcional a \ln|t| causa potencial divergência ao aproximar de 0. Vamos usar F para avaliar limites em intervalos sem atravessar singularidades.

Passo 5

Analisar a integral sobre (0,1). Basta mostrar que uma subparte já diverge.
Escolhemos um ponto interior, por exemplo t=\tfrac{1}{2}, e consideramos
\int_{0}^{1/2}\frac{3\,dt}{t^{2}-t}=\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^{1/2}\frac{3\,dt}{t^{2}-t}.
Usando a primitiva F,
\int_{\varepsilon}^{1/2}\frac{3\,dt}{t^{2}-t}=F\!\left(\tfrac{1}{2}\right)-F(\varepsilon).
Calculemos F\!\left(\tfrac{1}{2}\right) e o comportamento de F(\varepsilon) quando \varepsilon\to0^+:
F\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=3\ln\left|\frac{\tfrac{1}{2}-1}{\tfrac{1}{2}}\right|=3\ln(1)=0.
Para \varepsilon\in(0,\tfrac{1}{2}) temos \left|\dfrac{\varepsilon-1}{\varepsilon}\right|=\dfrac{1-\varepsilon}{\varepsilon} e
F(\varepsilon)=3\ln\left(\frac{1-\varepsilon}{\varepsilon}\right)=3\big(\ln(1-\varepsilon)-\ln\varepsilon\big).
Quando \varepsilon\to0^+ temos \ln(1-\varepsilon)\to0 e \ln\varepsilon\to-\infty, logo -\ln\varepsilon\to+\infty e, portanto, F(\varepsilon)\to+\infty.
Assim
\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^{1/2}\frac{3\,dt}{t^{2}-t}=0 - (+\infty) = -\infty.
Conclusão desta etapa: a integral sobre (0,\tfrac{1}{2}) diverge para -\infty. Portanto a integral \int_{0}^{1}\frac{3\,dt}{t^{2}-t} não é finita (diverge).

Passo 6

Conclusão final sobre a integral total. Como uma das integrais parciais (neste caso a integral sobre (0,1)) diverge, a integral imprópria original não converge. Observação complementar: não é necessário analisar \int_{1}^{+\infty} porque a divergência de uma parcela já basta para afirmar que a integral total diverge; integridade do conceito de integral imprópria exige que todas as partes sejam finitas para que a integral seja convergente.

Resposta

A integral divergente (a integral diverge, de modo que \displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{3\,dt}{t^{2}-t} não converge; de fato a parte \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{3\,dt}{t^{2}-t}=-\infty).

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