Calcule o valor da integral ou mostre que ela é divergente: \int_{0}^{+\infty} \frac{3 d t}{t^{2}-t}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{+\infty} \frac{3\,dt}{t^{2}-t}.
Informações e observações imediatas extraídas do enunciado:
O integrando é \dfrac{3}{t^{2}-t}.
O denominador anula-se em t=0 e em t=1. Logo há singularidades (pontos onde a função não está definida) em \,t=0 e \,t=1.
O intervalo de integração [0,+\infty) inclui ambos os pontos singulares e o infinito, portanto trata-se de uma integral imprópria com singularidades internas e com limite infinito.
O que o enunciado pede: determinar o valor da integral ou mostrar que ela é divergente.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do porquê de dividir): como há singularidade em t=1 dentro do intervalo (0,+\infty) e em t=0 no extremo de integração, vamos dividir a integral em partes onde cada singularidade aparece isolada; se qualquer uma dessas partes divergir, a integral total diverge. Assim escrevemos
onde cada termo à direita é entendido como limite apropriado (por exemplo, \int_{0}^{1} será tratado como limite quando nos aproximamos de 0^+ e de 1^-). Se uma dessas integrais parciais for divergente, a integral original é divergente.
Passo 3
Fazer a decomposição em frações parciais (isso facilita integrar e analisar os comportamentos perto das singularidades).
Procuramos A,B tais que
\frac{3}{t(t-1)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t-1}.
Multiplicando por t(t-1) obtemos
3 = A(t-1)+Bt.
Tomando t=0 dá 3=-A\Rightarrow A=-3. Tomando t=1 dá 3=B\Rightarrow B=3.
Logo
\frac{3}{t^{2}-t}=\frac{-3}{t}+\frac{3}{t-1}.
Passo 4
Encontrar primitiva e interpretar o comportamento próximo das singularidades.
Integrando termo a termo:
Usando propriedades do logaritmo, uma forma compacta é
F(t)=3\ln\left|\frac{t-1}{t}\right|+C.
Observação didática: \ln|t| diverge para -\infty quando t\to0^+; por isso qualquer termo proporcional a \ln|t| causa potencial divergência ao aproximar de 0. Vamos usar F para avaliar limites em intervalos sem atravessar singularidades.
Passo 5
Analisar a integral sobre (0,1). Basta mostrar que uma subparte já diverge.
Escolhemos um ponto interior, por exemplo t=\tfrac{1}{2}, e consideramos
Quando \varepsilon\to0^+ temos \ln(1-\varepsilon)\to0 e \ln\varepsilon\to-\infty, logo -\ln\varepsilon\to+\infty e, portanto, F(\varepsilon)\to+\infty.
Assim
Conclusão desta etapa: a integral sobre (0,\tfrac{1}{2}) diverge para -\infty. Portanto a integral \int_{0}^{1}\frac{3\,dt}{t^{2}-t} não é finita (diverge).
Passo 6
Conclusão final sobre a integral total. Como uma das integrais parciais (neste caso a integral sobre (0,1)) diverge, a integral imprópria original não converge. Observação complementar: não é necessário analisar \int_{1}^{+\infty} porque a divergência de uma parcela já basta para afirmar que a integral total diverge; integridade do conceito de integral imprópria exige que todas as partes sejam finitas para que a integral seja convergente.
Resposta
A integral divergente (a integral diverge, de modo que \displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{3\,dt}{t^{2}-t} não converge; de fato a parte \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{3\,dt}{t^{2}-t}=-\infty).