Calcule o valor da integral múltipla.
\iiint_{E} x y d V, onde E=\left{(x, y, z) \mid 0 \leqslant x \leqslant 3,0 \leqslant y \leqslant x), (0 \leqslant z \leqslant x+y\right}
Para cada par (x,y) fixo, a variável z varia entre 0 e x+y.
A função a integrar é x y (note que não depende de z).
A tarefa é calcular o valor numérico dessa integral tripla.
Passo 2
Vamos escrever a integral tripla como uma integral iterada usando a ordem natural dada pelas desigualdades: integrar primeiro em z, depois em y e por fim em x. Assim:
\iiint_{E} x y \, dV=\int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{x}\int_{z=0}^{x+y} x y \, dz\,dy\,dx.
Comentário didático: aqui dV representa o elemento de volume e, em coordenadas cartesianas, dV=dz\,dy\,dx. Ao escrever a integral iterada, usamos os limites indicados pelo conjunto E.
Passo 3
Integramos primeiro em z. Como a função integranda x y não depende de z, a integral em z é simplesmente x y vezes o comprimento do intervalo em z, que é x+y-0=x+y. Formalmente:
\int_{z=0}^{x+y} x y \, dz = x y \cdot (x+y).
Explicação da regra usada: se g(z) é uma função constante em z (ou seja, não depende de z), então \int_{a}^{b} C\,dz = C(b-a). Aqui C=x y.
Passo 4
Substituindo o resultado da integração em z na integral iterada, obtemos uma integral dupla:
\int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{x} x y (x+y)\, dy\, dx.
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Fazendo a multiplicação:
x y (x+y)=x^2 y + x y^2.
É só distributiva: x y \cdot x = x^2 y e x y \cdot y = x y^2.
Passo 5
Agora integramos em y. Precisamos calcular
\int_{y=0}^{x} \bigl(x^2 y + x y^2\bigr)\, dy.
Integramos termo a termo. Lembre que as antiderivadas básicas usadas são:
\int y\,dy = \dfrac{y^2}{2},
\int y^2\,dy = \dfrac{y^3}{3},
e constantes multiplicativas saem da integral.
Aplicando isso:
\int_{0}^{x} x^2 y \, dy = x^2 \cdot \frac{y^2}{2}\Big|_{0}^{x} = x^2\cdot\frac{x^2}{2}=\frac{x^4}{2},
\int_{0}^{x} x y^2 \, dy = x \cdot \frac{y^3}{3}\Big|_{0}^{x} = x\cdot\frac{x^3}{3}=\frac{x^4}{3}.
Somando os dois resultados:
\int_{0}^{x} \bigl(x^2 y + x y^2\bigr)\, dy = \frac{x^4}{2}+\frac{x^4}{3} = x^4\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right).