Calcule o valor da integral múltipla.
\iiint_{E} x y d V, onde E=\left{(x, y, z) \mid 0 \leqslant x \leqslant 3,0 \leqslant y \leqslant x), (0 \leqslant z \leqslant x+y\right}

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral tripla
\iiint_{E} x y \, dV,
onde o conjunto E é dado por
E=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le 3,\;0\le y\le x,\;0\le z\le x+y\}.
Dados relevantes:
  • A variável x varia entre 0 e 3.
  • Para cada x fixo, a variável y varia entre 0 e x.
  • Para cada par (x,y) fixo, a variável z varia entre 0 e x+y.
  • A função a integrar é x y (note que não depende de z).
    A tarefa é calcular o valor numérico dessa integral tripla.

Passo 2

Vamos escrever a integral tripla como uma integral iterada usando a ordem natural dada pelas desigualdades: integrar primeiro em z, depois em y e por fim em x. Assim:
\iiint_{E} x y \, dV=\int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{x}\int_{z=0}^{x+y} x y \, dz\,dy\,dx.
Comentário didático: aqui dV representa o elemento de volume e, em coordenadas cartesianas, dV=dz\,dy\,dx. Ao escrever a integral iterada, usamos os limites indicados pelo conjunto E.

Passo 3

Integramos primeiro em z. Como a função integranda x y não depende de z, a integral em z é simplesmente x y vezes o comprimento do intervalo em z, que é x+y-0=x+y. Formalmente:
\int_{z=0}^{x+y} x y \, dz = x y \cdot (x+y).
Explicação da regra usada: se g(z) é uma função constante em z (ou seja, não depende de z), então \int_{a}^{b} C\,dz = C(b-a). Aqui C=x y.

Passo 4

Substituindo o resultado da integração em z na integral iterada, obtemos uma integral dupla:
\int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{x} x y (x+y)\, dy\, dx.
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Fazendo a multiplicação:
x y (x+y)=x^2 y + x y^2.
É só distributiva: x y \cdot x = x^2 y e x y \cdot y = x y^2.

Passo 5

Agora integramos em y. Precisamos calcular
\int_{y=0}^{x} \bigl(x^2 y + x y^2\bigr)\, dy.
Integramos termo a termo. Lembre que as antiderivadas básicas usadas são:
  • \int y\,dy = \dfrac{y^2}{2},
  • \int y^2\,dy = \dfrac{y^3}{3},
    e constantes multiplicativas saem da integral.
Aplicando isso:
\int_{0}^{x} x^2 y \, dy = x^2 \cdot \frac{y^2}{2}\Big|_{0}^{x} = x^2\cdot\frac{x^2}{2}=\frac{x^4}{2},
\int_{0}^{x} x y^2 \, dy = x \cdot \frac{y^3}{3}\Big|_{0}^{x} = x\cdot\frac{x^3}{3}=\frac{x^4}{3}.
Somando os dois resultados:
\int_{0}^{x} \bigl(x^2 y + x y^2\bigr)\, dy = \frac{x^4}{2}+\frac{x^4}{3} = x^4\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right).
Calcule a soma das frações:
\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6},
logo o resultado é
\frac{5}{6}x^4.

Passo 6

Agora a integral tripla reduziu-se a uma integral simples em x:
\int_{x=0}^{3} \frac{5}{6}x^4 \, dx.
Fatoramos a constante \dfrac{5}{6}:
\frac{5}{6}\int_{0}^{3} x^4 \, dx.
A antiderivada de x^4 é \dfrac{x^5}{5}. Portanto:
\frac{5}{6}\cdot\frac{x^5}{5}\Big|_{0}^{3} = \frac{1}{6}x^5\Big|_{0}^{3}.
Note que o \dfrac{5}{6} multiplicado por \dfrac{1}{5} resulta em \dfrac{1}{6}.

Passo 7

Avalie em x=3 e em x=0:
\frac{1}{6}\bigl(3^5-0^5\bigr)=\frac{1}{6}\cdot 3^5.
Calcule 3^5:
3^2=9,\quad 3^3=27,\quad 3^4=81,\quad 3^5=243.
Logo:
\frac{1}{6}\cdot 243=\frac{243}{6}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{243}{6}=\frac{81}{2}.

Resposta

\dfrac{81}{2}

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