Sabendo que \log 2=0,301, \log 3=0,477, \log 5=0,699 e \log 7=0,845 calcule:
\log \frac{27}{7}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \log \frac{27}{7}.
As informações dadas são: \log 2=0,301, \log 3=0,477, \log 5=0,699 e \log 7=0,845.

Passo 2

Vamos usar duas propriedades básicas de logaritmos (vou explicar rapidinho cada uma):
  • Propriedade do quociente: para quaisquer números positivos a e b,
\log\!\left(\frac{a}{b}\right)=\log a - \log b.
Explicação: o logaritmo transforma divisão em subtração porque log é a operação inversa de potência e as potências se subtraem quando dividimos bases iguais.
  • Propriedade da potência: para a>0 e inteiro n,
\log(a^n)=n\log a.
Explicação: elevar a a n faz o log multiplicar por n, pois \log de uma potência traz o expoente para frente.

Passo 3

Aplicando a propriedade do quociente ao nosso problema:
\log\!\left(\frac{27}{7}\right)=\log 27 - \log 7.
Observação: 27 é 3^3. Então, usando a propriedade da potência,
\log 27=\log(3^3)=3\log 3.

Passo 4

Agora substituímos o valor dado de \log 3. Como \log 3=0,477,
\log 27 = 3\cdot 0,477.
Calculemos essa multiplicação com cuidado (passo a passo de conta sem calculadora):
0,477 vezes 3:
3\times 0,477 = 1,431.
Portanto \log 27 = 1,431.

Passo 5

Voltando à expressão principal, já temos \log 27 e \log 7 (dado). Então
\log\!\left(\frac{27}{7}\right)=1,431 - 0,845.
Façamos a subtração passo a passo (alinhando casas decimais):
\begin{array}{r} 1,431\\\\ -0,845\\hline 0,586 \end{array}
Explicação da operação: 1,431 menos 0,845 → nas milésimas 1-5 pedimos empréstimo, etc., resultando em 0,586.

Passo 6

Cheque rápido de plausibilidade (só pra ficar seguro): \frac{27}{7}\approx 3,857. Sabemos que \log 3=0,477 e \log 4\approx 0,602, então um log entre esses dois (para 3,857) faz sentido ser aproximadamente 0,586. Está consistente.

Resposta

\log \frac{27}{7}=0,586

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