Calcule o valor da integral múltipla.
\iint_{R} y e^{x y} d A, onde R=\left{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 3\right}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} y e^{x y}\,dA,
onde a região R é o retângulo
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\;0\le y\le 3\}.
Informações dadas:
\text{função a integrar: }f(x,y)=y e^{xy},çã
\text{domínio (região) é o retângulo }[0,2]\times[0,3].íãéâ
O que se pede: o valor numérico da integral dupla sobre R.

Passo 2

Primeira aula rápida antes de calcular: quando temos uma integral dupla sobre um retângulo e a função é contínua, podemos usar o teorema de Fubini para transformar a integral dupla em uma integral iterada. Isso significa que
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{y=0}^{3}\left(\int_{x=0}^{2} f(x,y)\,dx\right)dy
ou
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{x=0}^{2}\left(\int_{y=0}^{3} f(x,y)\,dy\right)dx.
Aqui f(x,y)=y e^{xy} é contínua no retângulo, então podemos escolher a ordem de integração que for mais fácil. Vou explicar a razão da escolha: se integrarmos primeiro em x, y aparece como constante e a integral em x é simples porque \frac{d}{dx} e^{xy}=y e^{xy}. Se integrássemos primeiro em y teríamos que fazer integração por partes — dá certo, mas é mais trabalho. Então escolhemos integrar primeiro em x.
Observação sobre notação: quando escrevo \int_{x=0}^{2} \cdots dx, isso significa que x é a variável de integração nessa integral interna e y é tratado como constante nessa etapa.

Passo 3

Calcular a integral interna em x:
\int_{x=0}^{2} y e^{xy}\,dx.
Aqui y é tratado como constante. Note que a função e^{xy} tem derivada em relação a x igual a y e^{xy}. Ou seja,
\frac{d}{dx}\big(e^{xy}\big)=y e^{xy}.
Portanto uma primitiva de y e^{xy} em relação a x é e^{xy}. Assim
\int_{x=0}^{2} y e^{xy}\,dx = \Big[ e^{xy} \Big]_{x=0}^{x=2} = e^{2y} - e^{0\cdot y}.
Como e^{0\cdot y}=e^{0}=1, obtemos
\int_{x=0}^{2} y e^{xy}\,dx = e^{2y}-1.

Passo 4

Agora integramos o resultado em y no intervalo [0,3]:
\int_{y=0}^{3} \big(e^{2y}-1\big)\,dy.
Calcule cada termo separadamente. Para \int e^{2y}\,dy usamos a regra básica de integrais exponenciais: se quisermos integrar \int e^{k y}\,dy com k constante, a primitiva é \frac{1}{k}e^{k y} (pois ao derivar reaparece o fator k). Aqui k=2, então
\int e^{2y}\,dy = \frac{1}{2} e^{2y}.
E \int 1\,dy = y. Logo
\int_{y=0}^{3} \big(e^{2y}-1\big)\,dy = \Big[\frac{1}{2}e^{2y} - y\Big]_{0}^{3}.
Agora avaliamos nos extremos:
\Big(\frac{1}{2}e^{2\cdot 3} - 3\Big) - \Big(\frac{1}{2}e^{0} - 0\Big) = \frac{1}{2}e^{6} - 3 - \frac{1}{2}.
Juntando termos constantes:
\frac{1}{2}e^{6} - 3 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}e^{6} - \frac{7}{2}.
Colocando em uma única fração:
\frac{e^{6}-7}{2}.

Passo 5

Comentário final de colega: poderíamos ter integrado primeiro em y, calculando \int_{0}^{3} y e^{xy}\,dy, mas aí precisaríamos de integração por partes e seria mais trabalhoso. Por isso a escolha de integrar primeiro em x é a estratégia mais econômica para fazer essa integral na prova — reconhecer que \frac{d}{dx}e^{xy}=y e^{xy} é a chave.

Resposta

\displaystyle \frac{e^{6}-7}{2}

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