Calcule o valor da integral múltipla.
\iint_{R} y e^{x y} d A, onde R=\left{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 3\right}
\iint_{R} y e^{x y} d A, onde R=\left{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 3\right}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é o retângulo
Informações dadas:
O que se pede: o valor numérico da integral dupla sobre
.
Passo 2
Primeira aula rápida antes de calcular: quando temos uma integral dupla sobre um retângulo e a função é contínua, podemos usar o teorema de Fubini para transformar a integral dupla em uma integral iterada. Isso significa que
ou
Aqui
é contínua no retângulo, então podemos escolher a ordem de integração que for mais fácil. Vou explicar a razão da escolha: se integrarmos primeiro em
,
aparece como constante e a integral em
é simples porque
. Se integrássemos primeiro em
teríamos que fazer integração por partes — dá certo, mas é mais trabalho. Então escolhemos integrar primeiro em
.
Observação sobre notação: quando escrevo
, isso significa que
é a variável de integração nessa integral interna e
é tratado como constante nessa etapa.
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
Aqui
é tratado como constante. Note que a função
tem derivada em relação a
igual a
. Ou seja,
Portanto uma primitiva de
em relação a
é
. Assim
Como
, obtemos
Passo 4
Agora integramos o resultado em
no intervalo
:
Calcule cada termo separadamente. Para
usamos a regra básica de integrais exponenciais: se quisermos integrar
com
constante, a primitiva é
(pois ao derivar reaparece o fator
). Aqui
, então
E
. Logo
Agora avaliamos nos extremos:
Juntando termos constantes:
Colocando em uma única fração:
Passo 5
Comentário final de colega: poderíamos ter integrado primeiro em
, calculando
, mas aí precisaríamos de integração por partes e seria mais trabalhoso. Por isso a escolha de integrar primeiro em
é a estratégia mais econômica para fazer essa integral na prova — reconhecer que
é a chave.