Prove que:
71\left(2^{3 n}-1\right) \forall n \in N

Passo 1

O enunciado pede para provar a afirmação sobre a expressão dada. Escrevendo de forma clara (corrigindo a notação ambígua do enunciado), a tarefa é:
Provar que
7 \mid \bigl(2^{3n}-1\bigr)\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão a analisar é \,2^{3n}-1.
  • O objetivo é mostrar que o número 7 divide essa expressão para qualquer n natural.

Passo 2

Vou recordar o que significa "um número m divide outro número a". Dizemos que
m \mid a
se existe um inteiro k tal que
a = m\cdot k.
Outra linguagem equivalente é a congruência modular: a\equiv 0\pmod m significa que m\mid a.
Também uso dois fatos simples e muito úteis:
  1. Propriedade de potências: \bigl(x^r\bigr)^s = x^{rs} para inteiros r,s.
  2. Fatorização clássica (diferença de potências): para inteiros a e b e n\ge1,
a^n-b^n=(a-b)\bigl(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}\bigr).
Isto mostra que a-b divide a^n-b^n. Vou explicar rapidamente por que essa fatorização é verdadeira: se multiplicar (a-b) pela soma dentro do parênteses, os termos se telescopam, sobrando apenas a^n-b^n. Por exemplo,
\begin{aligned} (a-b)\bigl(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1}\bigr) &= a^n + a^{n-1}b+\cdots+ab^{n-1}\\\ &\quad -\bigl(a^{n-1}b + a^{n-2}b^2+\cdots+b^n\bigr)\\\ &= a^n - b^n. \end{aligned}

Passo 3

Aplicando essas ideias ao nosso caso: observe que
2^{3n} = \bigl(2^3\bigr)^n.
Logo podemos escrever
2^{3n}-1 = \bigl(2^3\bigr)^n - 1^n.
Agora use a fatorização da diferença de potências com a=2^3 e b=1. Pela fórmula,
\bigl(2^3\bigr)^n - 1^n = \bigl(2^3 - 1\bigr)\bigl((2^3)^{\,n-1} + (2^3)^{\,n-2}\cdot1 + \cdots + 1^{\,n-1}\bigr).

Passo 4

Calcule a constante \,2^3-1:
2^3-1 = 8-1 = 7.
Substituindo, obtemos a fatoração explícita
2^{3n}-1 = 7\bigl(2^{3(n-1)} + 2^{3(n-2)} + \cdots + 2^3 + 1\bigr).
O parêntese à direita é um número inteiro (soma finita de potências inteiras). Portanto existe um inteiro k igual a essa soma tal que
2^{3n}-1 = 7\cdot k.
Isto significa exatamente que 7 divide 2^{3n}-1.

Passo 5

Concluir e ilustrar com um exemplo rápido para conferir a fórmula:
  • Para n=1: 2^{3\cdot1}-1 = 2^3-1 = 7, obviamente divisível por 7.
  • Para n=2: 2^{6}-1 = 64-1=63 = 7\cdot9, também divisível por 7.
    As contas batem com a fatoração geral.

Resposta

\;7\mid\bigl(2^{3n}-1\bigr) para todo \;n\in\mathbb{N}.

Exercícios relacionados