Prove que:
Passo 1
O enunciado pede para provar a afirmação sobre a expressão dada. Escrevendo de forma clara (corrigindo a notação ambígua do enunciado), a tarefa é:
Provar que
Informações relevantes dadas:
- A expressão a analisar é
. - O objetivo é mostrar que o número
divide essa expressão para qualquer natural.
Passo 2
Vou recordar o que significa "um número
divide outro número
". Dizemos que
se existe um inteiro
tal que
Outra linguagem equivalente é a congruência modular:
significa que
.
Também uso dois fatos simples e muito úteis:
-
Propriedade de potências:
para inteiros . -
Fatorização clássica (diferença de potências): para inteiros
e e ,
Isto mostra que
divide
. Vou explicar rapidamente por que essa fatorização é verdadeira: se multiplicar
pela soma dentro do parênteses, os termos se telescopam, sobrando apenas
. Por exemplo,
Passo 3
Aplicando essas ideias ao nosso caso: observe que
Logo podemos escrever
Agora use a fatorização da diferença de potências com
e
. Pela fórmula,
Passo 4
Calcule a constante
:
Substituindo, obtemos a fatoração explícita
O parêntese à direita é um número inteiro (soma finita de potências inteiras). Portanto existe um inteiro
igual a essa soma tal que
Isto significa exatamente que
divide
.
Passo 5
Concluir e ilustrar com um exemplo rápido para conferir a fórmula:
- Para
: , obviamente divisível por . - Para
: , também divisível por .
As contas batem com a fatoração geral.