Prove que:
\binom{n}{0}+3\binom{n}{1}+3^{2}\binom{n}{2}+\ldots+3^{n}\binom{n}{n}=4^{n}, n \geqslant 1.

Passo 1

O enunciado pede para provar a igualdade
\binom{n}{0}+3\binom{n}{1}+3^{2}\binom{n}{2}+\ldots+3^{n}\binom{n}{n}=\text{?}\quad\text{para }n\geqslant1.
Informações dadas:
  • Há um somatório que vai de k=0 a k=n cujos termos são 3^{k}\binom{n}{k}.
  • O objetivo é mostrar qual é o valor desse somatório para todo inteiro n\geqslant1.

Passo 2

Apresentar a ferramenta básica que vamos usar: a fórmula do binômio de Newton. A identidade diz, para todo inteiro n\geqslant0 e qualquer número x,
(1+x)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k},
onde \displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher k objetos entre n), e n! significa n!=n\cdot(n-1)\cdots1.
Explicando a fórmula de maneira intuitiva: ao multiplicar n fatores (1+x) a expansão resulta de escolher, em cada um dos n fatores, ou o termo 1 ou o termo x. Para obter x^{k} escolhemos o termo x exatamente em k dos fatores; o número de maneiras de escolher quais k fatores é \binom{n}{k}. Somando sobre todos os k obtemos a identidade acima.

Passo 3

Usar a identidade do binômio com uma escolha concreta de x. A expressão do enunciado tem potências 3^{k}; isso sugere escolher x=3. Substituindo x=3 na fórmula do binômio:
(1+3)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}3^{k}.
Isso mostra que o somatório do enunciado é igual a (1+3)^{n}.

Passo 4

Interpretar a expressão à esquerda obtida: (1+3)^{n} é simplesmente a potência de 4. Assim o somatório vale (1+3)^{n}, o que é a forma direta da igualdade que queríamos provar.

Passo 5

Para fixar a ideia, confira com exemplos pequenos:
  • Para n=1: \binom{1}{0}+3\binom{1}{1}=1+3\cdot1=4=(1+3)^{1}.
  • Para n=2: \binom{2}{0}+3\binom{2}{1}+3^{2}\binom{2}{2}=1+3\cdot2+9\cdot1=1+6+9=16=(1+3)^{2}.

Passo 6

Outra leitura (prova combinatória rápida) — conto de maneira alternativa: considere cadeias de comprimento n onde cada posição recebe uma das quatro letras \{A,B,C,D\}. O número total de cadeias é 4^{n}. Conto essas cadeias separando pelo número k de posições que não sejam a letra A: escolho quais k posições ( \binom{n}{k} maneiras) e, nessas k posições, ponho uma das três letras \{B,C,D\} ( 3^{k} possibilidades). Somando em k de 0 a n obtemos exatamente \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}3^{k}. Como a contagem deu 4^{n} pelos dois lados, a identidade fica comprovada.

Resposta

4^{n}

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