Prove que:
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a igualdade
Informações dadas:
- Há um somatório que vai de
a cujos termos são . - O objetivo é mostrar qual é o valor desse somatório para todo inteiro
.
Passo 2
Apresentar a ferramenta básica que vamos usar: a fórmula do binômio de Newton. A identidade diz, para todo inteiro
e qualquer número
,
onde
é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher
objetos entre
), e
significa
.
Explicando a fórmula de maneira intuitiva: ao multiplicar fatores
a expansão resulta de escolher, em cada um dos
fatores, ou o termo
ou o termo
. Para obter
escolhemos o termo
exatamente em
dos fatores; o número de maneiras de escolher quais
fatores é
. Somando sobre todos os
obtemos a identidade acima.
Explicando a fórmula de maneira intuitiva: ao multiplicar
Passo 3
Usar a identidade do binômio com uma escolha concreta de
. A expressão do enunciado tem potências
; isso sugere escolher
. Substituindo
na fórmula do binômio:
Isso mostra que o somatório do enunciado é igual a
.
Passo 4
Interpretar a expressão à esquerda obtida:
é simplesmente a potência de
. Assim o somatório vale
, o que é a forma direta da igualdade que queríamos provar.
Passo 5
Para fixar a ideia, confira com exemplos pequenos:
- Para
: . - Para
: .
Passo 6
Outra leitura (prova combinatória rápida) — conto de maneira alternativa: considere cadeias de comprimento
onde cada posição recebe uma das quatro letras
. O número total de cadeias é
. Conto essas cadeias separando pelo número
de posições que não sejam a letra
: escolho quais
posições (
maneiras) e, nessas
posições, ponho uma das três letras
(
possibilidades). Somando em
de
a
obtemos exatamente
. Como a contagem deu
pelos dois lados, a identidade fica comprovada.