Calcule o valor da integral múltipla.
\iint_{D} x y d A, onde D=(x, y) mid 0 <= y <= 1, y^2 <= x <= y+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD x,y,dA
sobre o domínio
D = (x,y)mid 0 <= y <= 1,; y^2 <= x <= y+2
Vamos usar integração iterada em x e y.

Passo 2

Escrevemos a integral como iterada:
integral duplaD x,y,dA = integraly=0^1!integralx=y^2^y+2 x,y ,dx,dy

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em x. Como y é constante:
integralx=y^2^y+2 x,y,dx = y integraly^2^y+2 x,dx = y2l[(y+2)^2 - (y^2)^2r] = y2l((y+2)^2 - y^4r)

Passo 4

Expandimos e integramos em y:
y2l((y+2)^2 - y^4r) = 12(-y^5 + y^3 +4y^2+4y)
Então
integral0^1 12(-y^5 + y^3 +4y^2+4y),dy = 12l[-tfrac16 + tfrac14 + tfrac43 + 2r] = 4124

Resposta

4124

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