Questão 1: (2,0 pontos) Determine o campo vetorial gradiente nabla f de f :
f(x, y)=e^2 r n x+y y^2

Passo 1

O enunciado pede o campo gradiente nabla f de
f(x,y)=e^2x+y,y^2
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y usando regra da cadeia e do produto.

Passo 2

Escrevendo
f(x,y)=y^2cdot e^2x+y,
a derivada parcial em relação a x é
partial fpartial x =y^2cdotpartialpartial xl(e^2x+yr) =y^2cdotl(2e^2x+yr) =2y^2e^2x+y

Passo 3

Para a derivada parcial em relação a y, aplicamos a regra do produto:
partial fpartial y =partialpartial y(y^2),e^2x+y +y^2,partialpartial yl(e^2x+yr) =(2y)e^2x+y+y^2e^2x+y =e^2x+y(2y+y^2)

Passo 4

Agrupando as componentes, o gradiente é
nabla f(x,y) =l(2y^2e^2x+y,;e^2x+y(y^2+2y)r)

Resposta

nabla f(x,y)=(2y^2e^2x+y,,(y^2+2y)e^2x+y)

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