Calcule o valor da integral tripla abaixo sobre uma região retangular:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla sobre uma região retangular. A integral dada é
Informações do enunciado:
- O integrando é
. - A ordem de integração é primeiro em
com variando de a , depois em com variando de a , e por fim em com variando de a . - A região de integração é retangular no sentido de que os limites são constantes (não dependem de outras variáveis).
Passo 2
Estratégia e ideias úteis (explicação didática):
- Quando a região é retangular (limites constantes), pode-se aplicar a linearidade e a troca de ordem indicada: integrar variável a variável, tratando as outras como constantes naquele passo.
- Regra prática: ao integrar em relação a
, trate e como constantes; ao integrar em relação a , trate como constante; ao integrar em relação a , não há mais variáveis livres. - Para integrar polinômios simples usamos antiderivadas básicas:
-
quando é constante em . -
.
-
- Também usamos a propriedade da linearidade do integral:
onde constantes podem sair da integral.
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
- Tratar
e como constantes ao integrar em . - Antiderivadas termo a termo:
- Portanto uma primitiva é
- Avaliando entre
e :
Passo 4
Agora a integral torna-se dupla em
e
:
Calcular a integral em
(tratando
como constante):
- Antiderivada de
em : - Antiderivada de
em : - Soma das antiderivadas:
- Avaliando entre
e :
Passo 5
Agora resta a integral em
:
- Antiderivada de
: - Antiderivada de
: - Soma das antiderivadas:
- Avaliando entre
e :
Passo 6
Interpretação final rápida e dicas para prova:
- A integral foi resolvida usando linearidade e antiderivadas simples, sempre lembrando de considerar quais variáveis são constantes em cada etapa.
- Dica prática: ao ver integrandos do tipo
, separar mentalmente os termos facilita — o termo que depende só de é direto na integração em ; termos com passam como constantes. - Técnica de verificação rápida: contar as potências resultantes em cada passo para checar consistência dimensional (por exemplo, integrar
eleva potência de em 1 unidade, etc.).
Resposta
10