Calcule o valor da integral tripla abaixo sobre uma região retangular:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{2} \int_{1}^{2}(4 x y+2 z) d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla sobre uma região retangular. A integral dada é
\int_{0}^{1} \int_{0}^{2} \int_{1}^{2}(4 x y+2 z)\, d z\, d y\, d x.
Informações do enunciado:
  • O integrando é (4 x y+2 z).
  • A ordem de integração é primeiro em z com z variando de 1 a 2, depois em y com y variando de 0 a 2, e por fim em x com x variando de 0 a 1.
  • A região de integração é retangular no sentido de que os limites são constantes (não dependem de outras variáveis).

Passo 2

Estratégia e ideias úteis (explicação didática):
  • Quando a região é retangular (limites constantes), pode-se aplicar a linearidade e a troca de ordem indicada: integrar variável a variável, tratando as outras como constantes naquele passo.
  • Regra prática: ao integrar em relação a z, trate x e y como constantes; ao integrar em relação a y, trate x como constante; ao integrar em relação a x, não há mais variáveis livres.
  • Para integrar polinômios simples usamos antiderivadas básicas:
    • \displaystyle \int c\, dz = c z quando c é constante em z.
    • \displaystyle \int z\, dz = \frac{z^{2}}{2}.
  • Também usamos a propriedade da linearidade do integral: \int (f+g) = \int f + \int g,\qquad \int c\cdot f = c\cdot\int f,onde constantes podem sair da integral.

Passo 3

Calcular a integral interna em z:
\int_{1}^{2} (4 x y + 2 z)\, d z.
  • Tratar x e y como constantes ao integrar em z.
  • Antiderivadas termo a termo: \int 4 x y\, d z = 4 x y \cdot z,
\int 2 z\, d z = z^{2}.
  • Portanto uma primitiva é 4 x y\, z + z^{2}.
  • Avaliando entre z=1 e z=2: \left[4 x y\, z + z^{2}\right]_{1}^{2} = 4 x y(2-1) + (2^{2}-1^{2}) = 4 x y + 3.

Passo 4

Agora a integral torna-se dupla em y e x:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{2} (4 x y + 3)\, d y\, d x.
Calcular a integral em y (tratando x como constante):
  • Antiderivada de 4 x y em y: \int 4 x y\, d y = 4 x \cdot \frac{y^{2}}{2} = 2 x y^{2}.
  • Antiderivada de 3 em y: \int 3\, d y = 3 y.
  • Soma das antiderivadas: 2 x y^{2} + 3 y.
  • Avaliando entre y=0 e y=2: \left[2 x y^{2} + 3 y\right]_{0}^{2} = 2 x \cdot 2^{2} + 3\cdot 2 = 8 x + 6.

Passo 5

Agora resta a integral em x:
\int_{0}^{1} (8 x + 6)\, d x.
  • Antiderivada de 8x: \int 8 x\, d x = 8\cdot\frac{x^{2}}{2} = 4 x^{2}.
  • Antiderivada de 6: \int 6\, d x = 6 x.
  • Soma das antiderivadas: 4 x^{2} + 6 x.
  • Avaliando entre x=0 e x=1: \left[4 x^{2} + 6 x\right]_{0}^{1} = 4\cdot 1^{2} + 6\cdot 1 - 0 = 4 + 6.

Passo 6

Interpretação final rápida e dicas para prova:
  • A integral foi resolvida usando linearidade e antiderivadas simples, sempre lembrando de considerar quais variáveis são constantes em cada etapa.
  • Dica prática: ao ver integrandos do tipo a(x,y)+b(z), separar mentalmente os termos facilita — o termo que depende só de z é direto na integração em z; termos com x,y passam como constantes.
  • Técnica de verificação rápida: contar as potências resultantes em cada passo para checar consistência dimensional (por exemplo, integrar z eleva potência de z em 1 unidade, etc.).

Resposta

10

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