Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função f(x, y)=x^{2}-6 x+y^{2}-4 y+10 na região retangular D definida por 0 \leq x \leq 5 e 0 \leq y \leq 3.

Passo 1

O enunciado pede os valores máximo e mínimo absolutos de f(x,y)=x^{2}-6x+y^{2}-4y+10 na região retangular
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 5,\;0\le y\le 3\}.
Informações dadas:
  • A função f é definida em todo \mathbb{R}^2 e queremos seus extremos restritos ao conjunto D.
  • O conjunto D é fechado e limitado (um retângulo), logo qualquer função contínua em D atinge máximo e mínimo absolutos em D.
    As perguntas que devo responder:
  • Qual é o mínimo absoluto de f em D e em que ponto ele ocorre?
  • Qual é o máximo absoluto de f em D e em que ponto ele ocorre?

Passo 2

Plano de ataque (passo a passo do que faremos; nada de cálculos ainda):
  1. Procurar pontos críticos no interior de D resolvendo \nabla f=0.
  2. Classificar o ponto crítico (se for interior) — aqui uma forma simples é completar quadrados ou usar o fato de que a parte quadrática é positiva.
  3. Verificar as quatro arestas do retângulo: cada aresta é um intervalo onde f vira uma função de uma variável; encontrar extremos nessas funções unidimensionais (derivada zero no intervalo e endpoints).
  4. Comparar todos os valores obtidos (ponto crítico interior, extremos nas arestas e cantos) — o maior será o máximo absoluto e o menor será o mínimo absoluto em D.

Passo 3

Encontrar pontos críticos no interior resolvendo \nabla f=0.
Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x-6,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2y-4.
Impondo \nabla f=(0,0) obtemos
2x-6=0\quad\Rightarrow\quad x=3, \qquad 2y-4=0\quad\Rightarrow\quad y=2.
Logo há um único ponto crítico (3,2). Verifico se ele pertence a D: como 0\le 3\le5 e 0\le2\le3, então (3,2) está no interior de D.

Passo 4

Classificar o ponto crítico e simplificar f completando quadrados (isso também ajuda a ver onde a função cresce).
Escrevo f completando quadrados:
f(x,y)=x^{2}-6x+y^{2}-4y+10 = (x-3)^{2}-9 + (y-2)^{2}-4 +10 = (x-3)^{2}+(y-2)^{2}-3.
Dessa forma fica claro: (x-3)^{2}\ge 0 e (y-2)^{2}\ge 0, então a soma é \ge 0. O menor valor que a soma pode assumir é 0, quando x=3 e y=2. Assim, f tem um mínimo global (no espaço) igual a -3 em (3,2). Como (3,2) está em D, esse é também o mínimo absoluto de f em D.
Comentário intuitivo: f é uma parábola quadrática “em cúpula para cima” (mais precisamente, um paraboloide convexo), então tem apenas um mínimo global e cresce com a distância ao ponto (3,2).

Passo 5

Agora vou checar a fronteira de D. Cada aresta é obtida fixando uma coordenada nos extremos e variando a outra. Em cada aresta considero a função de uma variável e encontro extremos (pontos críticos internos à aresta e os endpoints).
Aresta 1: x=0, 0\le y\le 3.
f(0,y)=0^{2}-0+y^{2}-4y+10 = y^{2}-4y+10.
Derivando em y: 2y-4=0\Rightarrow y=2, que está no intervalo. Avalio:
f(0,2)= (0-3)^{2}+(2-2)^{2}-3 =9-3=6.
Avalio também os endpoints:
f(0,0)= ( -3)^{2}+(-2)^{2}-3 =9+4-3=10,
f(0,3)= ( -3)^{2}+(1)^{2}-3 =9+1-3=7.
Portanto, na aresta x=0 os valores relevantes são 10 em (0,0), 6 em (0,2) e 7 em (0,3).
Aresta 2: x=5, 0\le y\le 3.
f(5,y)=(5-3)^{2}+(y-2)^{2}-3 =4+(y-2)^{2}-3 = (y-2)^{2}+1.
Derivada em y: 2(y-2)=0\Rightarrow y=2 (está no intervalo). Avalio:
f(5,2)=1.
Endpoints:
f(5,0)= (2)^{2}+(-2)^{2}-3 =4+4-3=5,
f(5,3)= (2)^{2}+(1)^{2}-3 =4+1-3=2.
Valores na aresta x=5: 1 em (5,2), 5 em (5,0), 2 em (5,3).
Aresta 3: y=0, 0\le x\le 5.
f(x,0)=(x-3)^{2}+(-2)^{2}-3=(x-3)^{2}+1.
Derivada em x: 2(x-3)=0\Rightarrow x=3 (está no intervalo). Avalio:
f(3,0)=1.
Endpoints:
f(0,0)=10\quad(\text{já calculado}), \qquad f(5,0)=5\quad(\text{já calculado}).áá
Valores na aresta y=0: 1 em (3,0), 10 em (0,0), 5 em (5,0).
Aresta 4: y=3, 0\le x\le 5.
f(x,3)=(x-3)^{2}+(1)^{2}-3=(x-3)^{2}-2.
Derivada em x: 2(x-3)=0\Rightarrow x=3 (está no intervalo). Avalio:
f(3,3)=-2.
Endpoints:
f(0,3)=7\quad(\text{já calculado}), \qquad f(5,3)=2\quad(\text{já calculado}).áá
Valores na aresta y=3: -2 em (3,3), 7 em (0,3), 2 em (5,3).

Passo 6

Reunindo todos os valores candidatos (ponto interior, extremos na fronteira e cantos):
  • Interior: f(3,2)=-3.
  • Arestas (pontos críticos internos às arestas): f(0,2)=6, f(5,2)=1, f(3,0)=1, f(3,3)=-2.
  • Cantos: f(0,0)=10, f(0,3)=7, f(5,0)=5, f(5,3)=2.
Comparando todos: o menor valor é -3 (em (3,2)) e o maior é 10 (em (0,0)).

Resposta

Mínimo absoluto: -3 em (3,2)
Máximo absoluto: 10 em (0,0)

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