Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função
na região retangular
definida por
e
.
Passo 1
O enunciado pede os valores máximo e mínimo absolutos de
na região retangular
Informações dadas:
- A função
é definida em todo e queremos seus extremos restritos ao conjunto . - O conjunto
é fechado e limitado (um retângulo), logo qualquer função contínua em atinge máximo e mínimo absolutos em .
As perguntas que devo responder: - Qual é o mínimo absoluto de
em e em que ponto ele ocorre? - Qual é o máximo absoluto de
em e em que ponto ele ocorre?
Passo 2
Plano de ataque (passo a passo do que faremos; nada de cálculos ainda):
- Procurar pontos críticos no interior de
resolvendo . - Classificar o ponto crítico (se for interior) — aqui uma forma simples é completar quadrados ou usar o fato de que a parte quadrática é positiva.
- Verificar as quatro arestas do retângulo: cada aresta é um intervalo onde
vira uma função de uma variável; encontrar extremos nessas funções unidimensionais (derivada zero no intervalo e endpoints). - Comparar todos os valores obtidos (ponto crítico interior, extremos nas arestas e cantos) — o maior será o máximo absoluto e o menor será o mínimo absoluto em
.
Passo 3
Encontrar pontos críticos no interior resolvendo
.
Calcule as derivadas parciais:
Impondo
obtemos
Logo há um único ponto crítico
. Verifico se ele pertence a
: como
e
, então
está no interior de
.
Passo 4
Classificar o ponto crítico e simplificar
completando quadrados (isso também ajuda a ver onde a função cresce).
Escrevo
completando quadrados:
Dessa forma fica claro:
e
, então a soma é
. O menor valor que a soma pode assumir é
, quando
e
. Assim,
tem um mínimo global (no espaço) igual a
em
. Como
está em
, esse é também o mínimo absoluto de
em
.
Comentário intuitivo:
é uma parábola quadrática “em cúpula para cima” (mais precisamente, um paraboloide convexo), então tem apenas um mínimo global e cresce com a distância ao ponto
.
Passo 5
Agora vou checar a fronteira de
. Cada aresta é obtida fixando uma coordenada nos extremos e variando a outra. Em cada aresta considero a função de uma variável e encontro extremos (pontos críticos internos à aresta e os endpoints).
Aresta 1:
,
.
Derivando em
:
, que está no intervalo. Avalio:
Avalio também os endpoints:
Portanto, na aresta
os valores relevantes são
em
,
em
e
em
.
Aresta 2:
,
.
Derivada em
:
(está no intervalo). Avalio:
Endpoints:
Valores na aresta
:
em
,
em
,
em
.
Aresta 3:
,
.
Derivada em
:
(está no intervalo). Avalio:
Endpoints:
Valores na aresta
:
em
,
em
,
em
.
Aresta 4:
,
.
Derivada em
:
(está no intervalo). Avalio:
Endpoints:
Valores na aresta
:
em
,
em
,
em
.
Passo 6
Reunindo todos os valores candidatos (ponto interior, extremos na fronteira e cantos):
- Interior:
. - Arestas (pontos críticos internos às arestas):
, , , . - Cantos:
, , , .
Comparando todos: o menor valor é
(em
) e o maior é
(em
).
Resposta
Mínimo absoluto:
em
Máximo absoluto: em
Máximo absoluto: