Determine a massa total de um sólido E cuja função densidade é dada por
. O sólido
está localizado abaixo do plano
e acima da região do plano
delimitada entre a curva
e o eixo
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar a massa total do sólido
.
Informações fornecidas:
- A função densidade é
. - O sólido
está abaixo do plano . - O sólido
está acima da região do plano delimitada entre a curva e o eixo (isto é, entre e ). - Implicação geométrica imediata para a base no plano
: a região é
porque
implica
.
Passo 2
Plano de ataque (o que vamos calcular, sem executar ainda):
- A massa total
é a integral tripla da densidade sobre :
- Como o sólido está “acima” do plano
(logo a face inferior é ) e “abaixo” do plano , para cada ponto da região temos . Isso torna conveniente integrar primeiro em , depois sobre a região no plano . - Assim vamos transformar a integral tripla numa integral dupla sobre
calculando a integral em explicitamente.
Passo 3
Escrever a integral com os limites explícitos:
Aqui
representa a área elementar no plano
. Explicar a operação usada: integrar em
significa somar a densidade ao longo da altura do sólido em cada ponto da base; como a densidade não depende de
(depende só de
), a integral em
é simples.
Passo 4
Calcular a integral interna em
:
Portanto a integral de massa reduz-se a uma integral dupla sobre
:
Agora substituímos os limites de
:
vai de
a
e, para cada
,
vai de
a
. Escrevendo explicitamente:
Passo 5
Calcular a integral em
(a integral interna da dupla):
Portanto
Passo 6
Observação de simetria (muito útil e economiza contas): a função integranda
é uma função ímpar, porque
(parte par) e o fator
muda de sinal, logo
. Para integrais de funções ímpares em intervalos simétricos centrados em zero vale a propriedade
(se
for ímpar e integrável). Como nosso intervalo é
, aplicamos essa propriedade diretamente.
Como ilustração rápida:
porque
é ímpar; o mesmo raciocínio vale aqui.
Passo 7
Aplicando a propriedade de função ímpar:
Isto significa que as contribuições positivas (onde
) e negativas (onde
) da densidade
se cancelam exatamente sobre a região simétrica escolhida.
Passo 8
Comentário final, intuitivo e de motivação:
- A densidade dada
é positiva quando e negativa quando . Sobre a base simétrica em as áreas com densidade positiva e negativa têm exatamente a mesma “força” (peso integral), gerando cancelamento e total nulo. - Se o enunciado esperava uma massa física (sempre não negativa), normalmente a densidade deveria ser não negativa; aqui o zero aparece por essa simetria e sinal trocado. De qualquer forma, matematicamente o resultado correto da integral tripla é
. Força aí, isso mostra que a análise de simetrias é uma ferramenta poderosa para economizar tempo na prova!