Determine a massa total de um sólido E cuja função densidade é dada por f(x, y, z)=30 x. O sólido E está localizado abaixo do plano z=y e acima da região do plano x y delimitada entre a curva y=1-x^{2} e o eixo x.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a massa total do sólido E.
Informações fornecidas:
  • A função densidade é f(x,y,z)=30x.
  • O sólido E está abaixo do plano z=y.
  • O sólido E está acima da região do plano xy delimitada entre a curva y=1-x^{2} e o eixo x (isto é, entre y=0 e y=1-x^{2}).
  • Implicação geométrica imediata para a base no plano xy: a região R é
R=\{(x,y)\mid -1\le x\le 1,\; 0\le y\le 1-x^{2}\},
porque 1-x^{2}\ge 0 implica x\in[-1,1].

Passo 2

Plano de ataque (o que vamos calcular, sem executar ainda):
  • A massa total M é a integral tripla da densidade sobre E:
M=\iiint_{E} f(x,y,z)\,dV.
  • Como o sólido está “acima” do plano xy (logo a face inferior é z=0) e “abaixo” do plano z=y, para cada ponto (x,y) da região R temos 0\le z\le y. Isso torna conveniente integrar primeiro em z, depois sobre a região R no plano xy.
  • Assim vamos transformar a integral tripla numa integral dupla sobre R calculando a integral em z explicitamente.

Passo 3

Escrever a integral com os limites explícitos:
M=\iiint_{E} 30x\,dV = \iint_{R}\left(\int_{z=0}^{z=y} 30x\,dz\right) dA.
Aqui dA representa a área elementar no plano xy. Explicar a operação usada: integrar em z significa somar a densidade ao longo da altura do sólido em cada ponto da base; como a densidade não depende de z (depende só de x), a integral em z é simples.

Passo 4

Calcular a integral interna em z:
\int_{0}^{y} 30x\,dz = 30x\big[z\big]_{0}^{y}=30x\cdot y.
Portanto a integral de massa reduz-se a uma integral dupla sobre R:
M=\iint_{R} 30x y \,dA.
Agora substituímos os limites de R: x vai de -1 a 1 e, para cada x, y vai de 0 a 1-x^{2}. Escrevendo explicitamente:
M=\int_{x=-1}^{1}\int_{y=0}^{1-x^{2}} 30x y \,dy\,dx.

Passo 5

Calcular a integral em y (a integral interna da dupla):
\int_{0}^{1-x^{2}} 30x y \,dy =30x\cdot\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1-x^{2}} =30x\cdot\frac{(1-x^{2})^{2}}{2} =15x(1-x^{2})^{2}.
Portanto
M=\int_{-1}^{1} 15x(1-x^{2})^{2}\,dx.

Passo 6

Observação de simetria (muito útil e economiza contas): a função integranda
g(x)=15x(1-x^{2})^{2}
é uma função ímpar, porque (1-(-x)^{2})^{2}=(1-x^{2})^{2} (parte par) e o fator x muda de sinal, logo g(-x)=-g(x). Para integrais de funções ímpares em intervalos simétricos centrados em zero vale a propriedade
\int_{-a}^{a} g(x)\,dx = 0
(se g for ímpar e integrável). Como nosso intervalo é [-1,1], aplicamos essa propriedade diretamente.
Como ilustração rápida: \int_{-1}^{1} x^{3}\,dx = 0 porque x^{3} é ímpar; o mesmo raciocínio vale aqui.

Passo 7

Aplicando a propriedade de função ímpar:
M=\int_{-1}^{1} 15x(1-x^{2})^{2}\,dx = 0.
Isto significa que as contribuições positivas (onde x>0) e negativas (onde x<0) da densidade 30x se cancelam exatamente sobre a região simétrica escolhida.

Passo 8

Comentário final, intuitivo e de motivação:
  • A densidade dada f(x,y,z)=30x é positiva quando x>0 e negativa quando x<0. Sobre a base simétrica [-1,1] em x as áreas com densidade positiva e negativa têm exatamente a mesma “força” (peso integral), gerando cancelamento e total nulo.
  • Se o enunciado esperava uma massa física (sempre não negativa), normalmente a densidade deveria ser não negativa; aqui o zero aparece por essa simetria e sinal trocado. De qualquer forma, matematicamente o resultado correto da integral tripla é 0. Força aí, isso mostra que a análise de simetrias é uma ferramenta poderosa para economizar tempo na prova!

Resposta

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