Calcule o valor da integral tripla
integral triplaE(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 d V
onde E é o sólido em R^3 limitado pelas superfícies de equações x^2+y^2+z^2=2 z e z=raiz13(x^2+y^2), satisfazendo z <= raiz13(x^2+y^2).

Passo 1

A integral é de
O enunciado: calcular
integral triplaE(x^2+y^2+z^2)^3/2,dV
onde E é o sólido limitado pela esfera
x^2+y^2+z^2=2z
e pelo cone
z=raiztfrac13(x^2+y^2)\ncom a condição z<=raiztfrac13(x^2+y^2).
Conteúdo: coordenadas esféricas, Jacobiano e substituição para resolver integrais.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos:
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi, dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
A esfera x^2+y^2+z^2=2z vira
rho^2=2rhocosphiimplies rho=2cosphi,
e o cone z=raiztfrac13(x^2+y^2)
rhocosphi=tfrac1raiz3rhosinphiimplies tanphi=raiz3implies phi=tfracpi3
Como queremos z<= cone, temos phi>=pi/3.

Passo 3

Logo os limites são:
0<=theta<=2pi, tfracpi3 <=phi<=tfracpi2, 0<=rho<=2cosphi
O integrando fica
(x^2+y^2+z^2)^3/2=(rho^2)^3/2=rho^3,
e com o Jacobiano o elemento é rho^3cdotrho^2sinphi=rho^5sinphi

Passo 4

Primeiro integramos em rho:
integral0^2cosphirho^5,drho=16l(2cosphir)^6=646cos^6phi=323cos^6phi

Passo 5

Agora montamos a integral em phi,theta:
I=integral0^2pidthetaintegralpi/3^pi/2323cos^6phisinphi,dphi =64pi3integralpi/3^pi/2cos^6phisinphi,dphi

Passo 6

Fazendo a substituição u=cosphi, du=-sinphi,dphi, com phi=pi/3to u=1/2 e phi=pi/2to u=0,
integralpi/3^pi/2cos^6phisinphi,dphi=integral1/2^0u^6(-du)=integral0^1/2u^6,du=17u^7|0^1/2=17l(12r)^7=1896

Passo 7

Portanto
I=64pi3cdot1896=64896cdot3pi=142pi

Resposta

pi42

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