Calcule o volume do sólido que está dentro do cilindro
e abaixo do plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa aqui é calcular o volume de um sólido que está dentro de um cilindro definido por e que fica abaixo do plano . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de volumes, especificamente integrais múltiplas e coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos trabalhando. O cilindro descreve todos os pontos que estão a uma distância de, no máximo, 4 unidades do eixo (porque ). Isso cria uma base circular com raio 4 no plano .
Passo 3
Agora, vamos pensar no plano . Esse plano é uma superfície horizontal que corta o cilindro. Queremos o volume que está abaixo desse plano, ou seja, onde vai de 0 até 6 dentro do cilindro.
Passo 4
Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
é a distância do ponto ao eixo ,
é o ângulo em torno do eixo ,
é a altura.
Em coordenadas cilíndricas, a equação do cilindro fica , já que o raio é 4.
Passo 5
Vamos montar a integral tripla para calcular o volume:
Aqui, é o fator que vem do Jacobiano quando mudamos para coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo:
Integraremos em relação a :
Agora, integramos em relação a integral0^2pi 48 , dtheta = 48 cdot theta gr|0^2pi = 48 cdot 2pi = 96pi :