Calcule o volume do sólido que está dentro do cilindro
x^2+y^2 <= 16
e abaixo do plano z=6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa aqui é calcular o volume de um sólido que está dentro de um cilindro definido por e que fica abaixo do plano . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de volumes, especificamente integrais múltiplas e coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos trabalhando. O cilindro descreve todos os pontos que estão a uma distância de, no máximo, 4 unidades do eixo (porque ). Isso cria uma base circular com raio 4 no plano .

Passo 3

Agora, vamos pensar no plano . Esse plano é uma superfície horizontal que corta o cilindro. Queremos o volume que está abaixo desse plano, ou seja, onde vai de 0 até 6 dentro do cilindro.

Passo 4

Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
  • é a distância do ponto ao eixo ,
  • é o ângulo em torno do eixo ,
  • é a altura.
Em coordenadas cilíndricas, a equação do cilindro fica , já que o raio é 4.

Passo 5

Vamos montar a integral tripla para calcular o volume:
V = integral0^2pi integral0^4 integral0^6 r , dz , dr , dtheta
Aqui, é o fator que vem do Jacobiano quando mudamos para coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integraremos em relação a integral0^6 r , dz = r cdot z gr|0^6 = 6r :
integral0^4 6r , dr = 6 cdot r^22 gr|0^4 = 6 cdot 162 = 48
  1. Agora, integramos em relação a integral0^2pi 48 , dtheta = 48 cdot theta gr|0^2pi = 48 cdot 2pi = 96pi :
  1. Por fim, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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