(2,0) Calcule o valor da integral tripla:
integral0^3 integral-1^2 integral0^1 x y z^2 d x d y d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular:
integral0^3 integral-1^2 integral0^1 x y z^2 , dx , dy , dz
Aqui, estamos lidando com integrais múltiplas, especificamente uma integral tripla. Vamos precisar integrar a função em relação a , depois , e por fim , seguindo os limites de integração dados.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar com relação a integral0^1 x y z^2 , dx . Nesse estágio, tratamos integral0^1 x y z^2 , dx = y z^2 [ 12x^2 ]0^1 = y z^2 ( 12(1)^2 - 12(0)^2 ) = 12y z^2 e como constantes porque estamos integrando em relação a . A integral fica:
A antiderivada de em relação a é , então:

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado em relação a integral-1^2 12y z^2 , dy , mantendo 12 z^2 integral-1^2 y , dy = 12 z^2 [ 12y^2 ]-1^2 = 12 z^2 ( 12(2)^2 - 12(-1)^2 ) = 12 z^2 ( 2 - 12 ) = 12 z^2 cdot 32 = 34 z^2 como constante:
A antiderivada de em relação a é , então:

Passo 4

Por fim, vamos integrar o resultado em relação a integral0^3 34 z^2 , dz :
34 integral0^3 z^2 , dz = 34 [ 13z^3 ]0^3 = 34 ( 13(3)^3 - 13(0)^3 ) = 34 ( 9 - 0 ) = 274
A antiderivada de em relação a é , então:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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