Considere a função f(x)=x^3, definida para x in[-1,1].
Calcule a intcgral definida integral-1^1 f(x) d x, usando a limite da soma de Rieman da partição regular em n subintervalos, quando n tende a infinito.

Passo 1

A questão pede para calcular integral-1^1x^3,dx usando o limite da soma de Riemann em partição regular. O conteúdo aqui é integral definida como limite de soma de Riemann, e vamos precisar definir a partição, escrever a soma, usar somatórios e depois passar ao limite.

Passo 2

Dividimos o intervalo [-1,1] em n subintervalos de mesmo comprimento. O tamanho de cada subintervalo é De. Como ponto de amostragem, escolhemos o extremo direito de cada subintervalo:
Sn = sumi=1^n f(xi),De

Passo 3

Substituindo De em xi = -1 + itfrac2n e expandindo o cubo, obtemos
Sn = sumi=1^n l(-1 + 2inr)^3 2n = sumi=1^n l(8i^3n^3 -12i^2n^2 +6in -1r)2n

Passo 4

Distribuindo tfrac2n e separando em somatórios:
Sn = 16n^4sumi=1^n i^3 - 24n^3sumi=1^n i^2 + 12n^2sumi=1^n i - 2nsumi=1^n1

Passo 5

Usando as fórmulas sumi=1^n i = tfracn(n+1)2,;sumi=1^n i^2 = tfracn(n+1)(2n+1)6,;sumi=1^n i^3 = l(tfracn(n+1)2r)^2, simplificamos cada termo e chegamos a
Sn = ;4(n+1)^2n^2 -42n^2+3n+1n^2 +6n+1n -2 = 2n

Passo 6

Por fim, tomamos o limite quando ntoinfty:
limntoinftySn = limntoinfty2n = 0

Resposta

0

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