(2,0) Calcule a integral dupla integral duplaR x^2 y d A onde R=(x, y) mid 0 <= x <= 3,1 <= y <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é definida por e . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como configurar a integral e depois integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla conforme a região integral duplaR x^2 y , dA = integral0^3 integral1^2 x^2 y , dy , dx . Como varia de 0 a 3 e varia de 1 a 2, a integral fica assim:
Aqui, representa um elemento de área na região , e a integral está configurada para integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Vamos integrar a função integral1^2 x^2 y , dy = x^2 integral1^2 y , dy em relação a x^2 [ 12 y^2 ]1^2 = x^2 ( 12 (2)^2 - 12 (1)^2 ) = x^2 ( 12 cdot 4 - 12 cdot 1 ) = x^2 ( 2 - 0.5 ) = x^2 cdot 1.5 = 32 x^2 , mantendo como constante durante essa etapa:
A integral de em relação a é , então:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado integral0^3 32 x^2 , dx = 32 integral0^3 x^2 , dx em relação a 32 [ 13 x^3 ]0^3 = 32 ( 13 (3)^3 - 13 (0)^3 ) = 32 ( 273 - 0 ) = 32 cdot 9 = 272 de 0 a 3:
A integral de em relação a é , então:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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