Calcule o valor da integral:
integral triplaB(|x|+|y|) d V , onde B=(x, y, z) in R^3 ; x^2+y^2 <= 1,0 <= z <= raizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral triplaB(|x|+|y|),dV com B=(x,y,z)inR^3: x^2+y^2<=1,;0<= z<=raizx^2+y^2
Como a região em (x,y) é um disco de raio 1 e o teto é z=r, é natural usar coordenadas cilíndricas:
x=rcostheta,;y=rsintheta,;0<= r<=1,;0<=theta<=2pi,;0<= z<= r

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
|x|+|y| = r|costheta| + r|sintheta|, dV = r,dz,dr,dtheta
Logo a integral vira
integral triplaB(|x|+|y|),dV =integral0^2pi!integral0^1!integral0^r l(r|costheta|+r|sintheta|r),r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Primeiro integramos em z:
integral0^rdz = r,
de modo que o integrando em r,theta fica
rl(r|costheta|+r|sintheta|r),r = r^3l(|costheta|+|sintheta|r)
Então
integral0^2pi!integral0^1r^3l(|costheta|+|sintheta|r),dr,dtheta

Passo 4

Podemos separar as integrais:
l(integral0^1r^3,drr), l(integral0^2pi|costheta|,dtheta +integral0^2pi|sintheta|,dthetar)
Calculamos
integral0^1r^3,dr = 14

Passo 5

Usando simetria em cada quadrante,
integral0^2pi|costheta|,dtheta =4integral0^pi/2costheta,dtheta =4cdot1=4,
integral0^2pi|sintheta|,dtheta =4integral0^pi/2sintheta,dtheta =4cdot1=4,
portanto a soma é 4+4=8.

Passo 6

Multiplicando tudo:
14times 8 = 2

Resposta

2

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