Calcule o valor da integral:
Passo 1
O enunciado pede calcular
Como a região em
é um disco de raio 1 e o teto é
, é natural usar coordenadas cilíndricas:
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos
Logo a integral vira
Passo 3
Primeiro integramos em
:
de modo que o integrando em
fica
Então
Passo 4
Podemos separar as integrais:
Calculamos
Passo 5
Usando simetria em cada quadrante,
portanto a soma é
.
Passo 6
Multiplicando tudo:
Resposta
2