Calcule o valor da integral usando o teorema da divergência.
F=[3 x y^2, x^2 y-y^3, 3 x^2 z], S é a superfície de x^2+y^2 <= 25, 0 <= z <= 2

Passo 1

A questão pede para calcular o fluxo de vec F=[3xy^2,,x^2y-y^3,,3x^2z] através da superfície fechada S dada por x^2+y^2<=25, 0<= z<=2, usando o Teorema da Divergência. O conteúdo é o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss) e vamos precisar calcular a divergência de vec F e depois fazer uma integral de volume.

Passo 2

Pelo Teorema da Divergência sabemos que
integral duplaS vec Fcdot dvec S =integral triplaV (nablacdotvec F),dV
ou seja, a integral de fluxo é igual à integral tripla da divergência de vec F no volume V delimitado por S.

Passo 3

Calculo da divergência:
nablacdotvec F =partialpartial x(3xy^2)+partialpartial y(x^2y-y^3)+partialpartial z(3x^2z) =3y^2+(x^2-3y^2)+3x^2=4x^2

Passo 4

Agora temos que avaliar
integral triplaV 4x^2,dV
no cilindro x^2+y^2<=25, 0<= z<=2. Para isso, usamos coordenadas cilíndricas:
x=rcostheta, y=rsintheta, dV=r,dr,dtheta,dz
e x^2=r^2cos^2theta.

Passo 5

Montando a integral em cilíndricas:
integral triplaV 4x^2,dV =4integralz=0^2integraltheta=0^2piintegralr=0^5(r^2cos^2theta),(r,dr,dtheta,dz)
Agora separamos as integrais.

Passo 6

Calculando cada parte:
  • integralz=0^2dz=2.
  • integralr=0^5r^3,dr=5^44=6254.
  • integral0^2picos^2theta,dtheta=pi (pois o valor médio de cos^2theta é 1/2 num período).

Passo 7

Juntando tudo:
4times2times6254timespi=1250pi

Resposta

1250\pi

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