Calcule o valor da integral usando o teorema da divergência.
,
é a superfície de
,
Passo 1
A questão pede para calcular o fluxo de
através da superfície fechada
dada por
,
, usando o Teorema da Divergência. O conteúdo é o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss) e vamos precisar calcular a divergência de
e depois fazer uma integral de volume.
Passo 2
Pelo Teorema da Divergência sabemos que
ou seja, a integral de fluxo é igual à integral tripla da divergência de
no volume
delimitado por
.
Passo 3
Calculo da divergência:
Passo 4
Agora temos que avaliar
no cilindro
,
. Para isso, usamos coordenadas cilíndricas:
e
.
Passo 5
Montando a integral em cilíndricas:
Agora separamos as integrais.
Passo 6
Calculando cada parte:
-
. -
. -
(pois o valor médio de é num período).
Passo 7
Juntando tudo:
Resposta
1250\pi