Calcule o valor da integral usando o teorema da divergência.
F=[5 x^3, 5 y^3, 5 z^3], S: x^2+y^2+z^2=4

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo de vec F=[5x^3,5y^3,5z^3] através da superfície da esfera x^2+y^2+z^2=4, usando o teorema da divergência. Precisamos do conteúdo de divergência de um campo vetorial e de coordenadas esféricas para avaliar o volume interno à esfera de raio 2.

Passo 2

Primeiro, calculamos a divergência de vec F. Usando nablacdotvec F=partialpartial x(5x^3)+partialpartial y(5y^3)+partialpartial z(5z^3), obtemos
nablacdotvec F=15x^2+15y^2+15z^2=15r^2,

Passo 3

Pelo teorema da divergência, o fluxo é
integral duplaSvec Fcdothat n,dS=integral triplaV(nablacdotvec F),dV

Passo 4

Em coordenadas esféricas, dV=r^2sintheta,dr,dtheta,dvarphi e r vai de 0 a 2, theta de 0 a pi, varphi de 0 a 2pi. Montamos o integral
integral triplaV15r^2,dV=15integral0^2pi!dvarphiintegral0^pisintheta,dthetaintegral0^2r^2cdot r^2,dr=15gl(2pigr)l(2r)gl(2^55gr),

Passo 5

Calculando cada parte: radial integral0^2r^4,dr=325, angular integral0^pisintheta,dtheta=2 e integral0^2pidvarphi=2pi. Logo o resultado é
15times325times2times2pi=384pi

Resposta

384pi

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