Encontre uma representação paramétrica das seguintes curvas.
Círculo 0,5 x^2+y^2=1, z=y

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da curva dada pela interseção das superfícies 0,5 x² + y² = 1 e z = y. Isso é conteúdo de parametrização de curvas em 3D, e vamos precisar usar a trigonometria para parametrizar a elipse no plano xy e depois definir z em função de y.

Passo 2

A equação 0,5 x² + y² = 1 pode ser rearranjada para uma forma padrão de elipse, dividindo ambos os lados por 1:
x^22 + y^21 = 1
Aqui identificamos que a elipse tem semi-eixo em x de comprimento a = raiz2 e em y de comprimento b = 1.

Passo 3

Para parametrizar essa elipse no plano xy, usamos funções trigonométricas:
$$
x(t) = a \cos t = \sqrt{2}\cos t,$$
$$
y(t) = b \sin t = \sin t. x(t) = a cos t = raiz2cos t,é
z(t) = y(t) = \sin t. y(t) = b sin t = sin té
t \in [0,2\pi).$$

Passo 4

Portanto, a parametrização completa é
r(t) = l(raiz2cos t,,sin t,,sin tr), t in [0,2pi)

Resposta

r(t) = (raiz2cos t,, sin t,, sin t), t in [0,2pi)

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