Encontre uma representação paramétrica das seguintes curvas.
Círculo
Círculo
Passo 1
O enunciado pede a parametrização da curva dada pela interseção das superfícies 0,5 x² + y² = 1 e z = y. Isso é conteúdo de parametrização de curvas em 3D, e vamos precisar usar a trigonometria para parametrizar a elipse no plano xy e depois definir z em função de y.
Passo 2
A equação 0,5 x² + y² = 1 pode ser rearranjada para uma forma padrão de elipse, dividindo ambos os lados por 1:
Aqui identificamos que a elipse tem semi-eixo em x de comprimento
Passo 3
Para parametrizar essa elipse no plano xy, usamos funções trigonométricas:
$$
x(t) = a \cos t = \sqrt{2}\cos t,$$
$$
y(t) = b \sin t = \sin t.
z(t) = y(t) = \sin t.
t \in [0,2\pi).$$
Passo 4
Portanto, a parametrização completa é