Encontre uma representação paramétrica das seguintes curvas.
Hélice x^2+y^2=9, z=4 tg^-1(y / x)

Passo 1

A curva é definida pela interseção do cilindro x^2 + y^2 = 9 com a superfície z = 4tan^-1(y/x). Para parametrizar, vamos usar coordenadas polares (cilíndricas), relacionando tantheta = y/x.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, temos as transformações x = rcostheta, y = rsintheta e z livre. Como o cilindro impõe r=3, podemos definir
x = 3costheta, y = 3sintheta

Passo 3

Observando a relação tan^-1(y/x) = theta (considerando theta como o ângulo polar), a equação de z se torna z = 4theta.

Passo 4

Adotando t no lugar de theta como parâmetro e permitindo que t varie em R, chegamos à representação paramétrica final.

Resposta

r(t) = (3cos t,;3sin t,;4t), tinR

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