Calcule o valor da integral usando o teorema da divergência.
F=[4 x^2, 2 x+y^2, x^2+z^2], S é a superfície do tetraedro de vértices (0,0,0),(2,0,0),(0,2,0) e (0,0,2)

Passo 1

A questão pede pra calcular a integral de fluxo de vec F=[4x^2,,2x+y^2,,x^2+z^2] sobre a superfície S do tetraedro com vértices (0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2). Vamos usar o Teorema da Divergência: em vez de fazer a integral de superfície diretamente, a gente calcula integral duplaSvec Fcdothat n,dS=integral triplaV(nablacdotvec F),dV.

Passo 2

Primeiro, calculamos a divergência de vec F:
nablacdotvec F=partialpartial x(4x^2)+partialpartial y(2x+y^2)+partialpartial z(x^2+z^2)=8x+2y+2z

Passo 3

O volume V é o tetraedro dado por
D=(x,y,z)mid x>=0,;y>=0,;z>=0,;x+y+z<=2
Então a integral vira
integral triplaV(8x+2y+2z),dV

Passo 4

Para facilitar, separamos em três integrais: 8integral tripla x,dV+2integral tripla y,dV+2integral tripla z,dV Por simetria do tetraedro (que é simétrico em x,y,z), temos
integral triplaV x,dV=integral triplaV y,dV=integral triplaV z,dV
O volume do tetraedro é V=16cdot2^3=86=43, e seu centróide tem coordenada média 2+0+0+04=12, logo
integral triplaV x,dV=12,V=12cdot43=23

Passo 5

Substituindo de volta:
8cdot23+2cdot23+2cdot23=163+43+43=243=8

Resposta

8

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