Calcule o valor da integral usando o teorema da divergência.
F=[x, y, z], S é a esfera x^2+y^2+z^2 <= 9

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do fluxo de vec F=[x,y,z] através da superfície da esfera de raio 3 usando o teorema da divergência. Vamos usar o teorema que liga a integral de superfície do campo ao triplo da integral da divergência sobre o volume interno.

Passo 2

O teorema da divergência diz que
integral duplaSvec Fcdothat n,dS = integral triplaVnablacdotvec F,dV
Precisamos, portanto, calcular nablacdotvec F.

Passo 3

Para vec F=[x,y,z], temos
nablacdotvec F = partial xpartial x + partial ypartial y + partial zpartial z = 1 + 1 + 1 = 3

Passo 4

Assim, o fluxo é
integral triplaV 3,dV = 3 cdot (volume da esfera de raio 3)

Passo 5

O volume de uma esfera de raio r=3 é
V = 43pi r^3 = 43picdot 27 = 36pi
Logo,

Passo 6

Multiplicando, obtemos
3 times 36pi = 108pi

Resposta

108pi

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