Calcule o valor da integral usando o teorema da divergência.
F=[sen y, cos x, cos z], S é a superfície de x^2+y^2 <= 4, |z| <= 2

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial vec F=[sin y,,cos x,,cos z] através da superfície fechada S que é o cilindro x^2+y^2<=4,,|z|<=2. Vamos usar o Teorema da Divergência, integrando a divergência de vec F no volume cilíndrico.

Passo 2

Calculamos a divergência:
nablacdotvec F=partialpartial x(sin y)+partialpartial y(cos x)+partialpartial z(cos z)=0+0-sin z=-sin z

Passo 3

Aplicando o Teorema da Divergência:
integral duplaSvec Fcdothat n,dS=integral triplaV(nablacdotvec F),dV=integral triplaV-sin z,dV

Passo 4

Passamos para coordenadas cilíndricas ( r,theta,z):
integral triplaV-sin z,dV=integral0^2piintegral0^2integral-2^2-sin z;r,dz,dr,dtheta

Passo 5

Integramos primeiro em r e theta:
integral0^2pidthetaintegral0^2r,dr=2picdot2^22=4pi

Passo 6

Para a parte em z, temos
integral-2^2-sin z,dz=l[cos zr]-2^2=cos2-cos(-2)=cos2-cos2=0

Passo 7

Multiplicando as partes obtidas, o fluxo total é 4pitimes0=0.

Resposta

0

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