Calcule o valor de
para que a função dada seja contínua no ponto indicado.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o valor de $ L $ que faz com que a função $ f(x, y) $ seja contínua no ponto $ (0,0) $. A função está definida de duas maneiras:
- Para $ x \neq 0 $: $ f(x, y) = 2y \sin\left(\frac{1}{x}\right) $
- Para $ x = 0 $: $ f(x, y) = L $
Para garantir a continuidade no ponto $ (0,0) $, precisamos que o limite da função quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ seja igual a $ L $. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o limite da função $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $. Ou seja, queremos calcular:
Nosso objetivo é ver qual valor esse limite tende para que a função seja contínua.
Passo 3
Sabemos que a função seno, $ \sin\left(\frac{1}{x}\right) $, oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de $ x $ diferente de zero. Então, podemos dizer que:
Multiplicando toda a desigualdade por $ 2y $, temos:
Passo 4
Agora, vamos considerar o valor absoluto de $ 2y \sin\left(\frac{1}{x}\right) $:
Isso porque o seno está sempre entre -1 e 1, então o valor absoluto de $ \sin\left(\frac{1}{x}\right) $ é no máximo 1.
Passo 5
A próxima etapa é usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Squeeze). Sabemos que:
E sabemos que, quando $ y $ se aproxima de 0, $ 2|y| $ também se aproxima de 0. Assim, pelo Teorema do Confronto:
Resposta
Portanto, para a função $ f(x, y) $ ser contínua no ponto $ (0,0) $, o valor de $ L $ deve ser: