Calcule o valor de L para que a função dada seja contínua no ponto indicado.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o valor de $ L $ que faz com que a função $ f(x, y) $ seja contínua no ponto $ (0,0) $. A função está definida de duas maneiras:
  • Para $ x \neq 0 $: $ f(x, y) = 2y \sin\left(\frac{1}{x}\right) $
  • Para $ x = 0 $: $ f(x, y) = L $
Para garantir a continuidade no ponto $ (0,0) $, precisamos que o limite da função quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ seja igual a $ L $. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite da função $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $. Ou seja, queremos calcular:
f(x, y)
Nosso objetivo é ver qual valor esse limite tende para que a função seja contínua.

Passo 3

Sabemos que a função seno, $ \sin\left(\frac{1}{x}\right) $, oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de $ x $ diferente de zero. Então, podemos dizer que:
sin(1x)
Multiplicando toda a desigualdade por $ 2y $, temos:
x

Passo 4

Agora, vamos considerar o valor absoluto de $ 2y \sin\left(\frac{1}{x}\right) $:
2y sin(1x)
Isso porque o seno está sempre entre -1 e 1, então o valor absoluto de $ \sin\left(\frac{1}{x}\right) $ é no máximo 1.

Passo 5

A próxima etapa é usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Squeeze). Sabemos que:
|2y sin(1x)| <= 2|y|
E sabemos que, quando $ y $ se aproxima de 0, $ 2|y| $ também se aproxima de 0. Assim, pelo Teorema do Confronto:
y

Resposta

Portanto, para a função $ f(x, y) $ ser contínua no ponto $ (0,0) $, o valor de $ L $ deve ser:
f(x, y)

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