Verifique que a origem é uma descontinuidade da função:
Essa descontinuidade pode ser removida?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão quer que a gente verifique se a origem (0,0) é uma descontinuidade na função dada e se essa descontinuidade pode ser removida. Estamos trabalhando com cálculo de funções de duas variáveis, focando em continuidade. Para resolver isso, vamos analisar o limite da função quando (x, y) se aproxima de (0,0) e comparar com o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função:
f(x, y) = sin (x^2+y^2)1-cos raizx^2+y^2, & se (x, y) neq (0,0) 0, & se (x, y) = (0,0)
Queremos ver o que acontece com f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0).

Passo 3

Para isso, vamos mudar para coordenadas polares, onde x = rcostheta e y = rsintheta. Assim, x^2 + y^2 = r^2 e raizx^2 + y^2 = r.
Substituindo na função, temos:
f(r, theta) = sin(r^2)1 - cos r, r neq 0

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite de f(r, theta) quando r to 0:
limr to 0 sin(r^2)1 - cos r
Vamos simplificar essa expressão. Para r próximo de 0, podemos usar as aproximações de séries de Taylor:
sin(r^2) approx r^2 - (r^2)^36 = r^2 - r^66
1 - cos r approx r^22 - r^424

Passo 5

Substituindo essas aproximações no limite:
limr to 0 r^2 - r^66r^22 - r^424 = limr to 0 r^2(1 - r^46)r^22(1 - r^212)
Cancelando r^2 no numerador e denominador:
limr to 0 1 - r^4612(1 - r^212) = 1 - 012(1 - 0) = 112 = 2

Passo 6

Então, o limite de f(x, y) quando (x, y) to (0,0) é 2. Porém, o valor da função na origem é f(0,0) = 0.

Passo 7

Como o limite quando (x, y) se aproxima de (0,0) é 2, mas f(0,0) = 0, há uma descontinuidade nesse ponto.

Passo 8

Para remover essa descontinuidade, precisaríamos redefinir o valor de f(0,0) para que seja igual ao limite, ou seja, definir f(0,0) = 2.

Resposta

A origem (0,0) é uma descontinuidade da função f(x, y), e essa descontinuidade pode ser removida definindo f(0,0) = 2.

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