Verifique que a origem é uma descontinuidade da função:
Essa descontinuidade pode ser removida?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão quer que a gente verifique se a origem
é uma descontinuidade na função dada e se essa descontinuidade pode ser removida. Estamos trabalhando com cálculo de funções de duas variáveis, focando em continuidade. Para resolver isso, vamos analisar o limite da função quando
se aproxima de
e comparar com o valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função:
Queremos ver o que acontece com
quando
se aproxima de
.
Passo 3
Para isso, vamos mudar para coordenadas polares, onde
e
. Assim,
e
.
Substituindo na função, temos:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite de
quando
:
Vamos simplificar essa expressão. Para
próximo de 0, podemos usar as aproximações de séries de Taylor:
Passo 5
Substituindo essas aproximações no limite:
Cancelando
no numerador e denominador:
Passo 6
Então, o limite de
quando
é 2. Porém, o valor da função na origem é
.
Passo 7
Como o limite quando
se aproxima de
é 2, mas
, há uma descontinuidade nesse ponto.
Passo 8
Para remover essa descontinuidade, precisaríamos redefinir o valor de
para que seja igual ao limite, ou seja, definir
.
Resposta
A origem
é uma descontinuidade da função
, e essa descontinuidade pode ser removida definindo
.