Seja
é contínua em ( 0,0 )? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para saber se a função $ f(x, y) $ é contínua no ponto $ (0,0) $. A função está definida de duas maneiras:
Para verificar a continuidade nesse ponto, precisamos ver se o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em $ (0,0) $. Isso quer dizer que, à medida que nos aproximamos de $ (0,0) $ de qualquer direção, o valor de $ f(x, y) $ deve se aproximar de 0.
Então, vamos calcular o limite:
Passo 3
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde $ x = r \cos\theta $ e $ y = r \sin\theta $. Isso transforma a expressão em termos de $ r $ (a distância ao ponto $ (0,0) $) e $ \theta $ (o ângulo).
Substituindo:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Agora, observamos que, quando $ r $ tende a 0, toda a expressão tende a 0, já que $ r $ está multiplicando o numerador e o denominador é uma função que não tende a zero.
Passo 5
Para confirmar, vamos analisar os módulos:
Como $ |\cos\theta| \leq 1 $, temos:
E sabemos que quando $ r \to 0 $, $ |k| r \to 0 $.
Passo 6
Portanto, o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) \to (0,0) $ é 0, que é exatamente o valor de $ f(0,0) $.
Resposta
Sim, a função $ f(x, y) $ é contínua em $ (0,0) $.