Seja
f(x, y)= k x^3x^2+2 y^2, & se (x, y) neq(0,0), (k constante ) 0, & se (x, y)=(0,0) é contínua em ( 0,0 )? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para saber se a função $ f(x, y) $ é contínua no ponto $ (0,0) $. A função está definida de duas maneiras:
f(x, y)
Para verificar a continuidade nesse ponto, precisamos ver se o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em $ (0,0) $. Isso quer dizer que, à medida que nos aproximamos de $ (0,0) $ de qualquer direção, o valor de $ f(x, y) $ deve se aproximar de 0.
Então, vamos calcular o limite:
(0,0)

Passo 3

Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde $ x = r \cos\theta $ e $ y = r \sin\theta $. Isso transforma a expressão em termos de $ r $ (a distância ao ponto $ (0,0) $) e $ \theta $ (o ângulo).
Substituindo:
x = r costheta

Passo 4

Simplificando a expressão:
f(r, theta) = k r cos^3thetacos^2theta + 2 sin^2theta
Agora, observamos que, quando $ r $ tende a 0, toda a expressão tende a 0, já que $ r $ está multiplicando o numerador e o denominador é uma função que não tende a zero.

Passo 5

Para confirmar, vamos analisar os módulos:
| k r cos^3thetacos^2theta + 2 sin^2theta | <= |k| r cdot |cos^3theta|cos^2theta = |k| r |costheta|
Como $ |\cos\theta| \leq 1 $, temos:
|costheta| <= 1
E sabemos que quando $ r \to 0 $, $ |k| r \to 0 $.

Passo 6

Portanto, o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) \to (0,0) $ é 0, que é exatamente o valor de $ f(0,0) $.

Resposta

Sim, a função $ f(x, y) $ é contínua em $ (0,0) $.

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