Sabendo que
1-x^2 y^23 <= arctg(x y)x y<1 e 2|x y|-x^2 y^26<4-4 cos raiz|x y|<2|x y|
calcule os seguintes limites:
lim (x, y) (0,0) 4-4 cos raiz|x y||x y|

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o limite
lim(x,y)to(0,0)4-4cosraiz|xy||xy|
O conteúdo principal é usar a desigualdade já fornecida para estimar o numerador envolvendo o cosseno. Vamos precisar do Teorema do Confronto (Teorema da Sobreposição).

Passo 2

A segunda desigualdade do enunciado é
2|xy| - x^2y^26 < 4 - 4cosraiz|xy| < 2|xy|
Ela vem de uma expansão de Taylor de cos t para pequenos t, mas como já está dada, vamos usá-la diretamente.

Passo 3

Dividindo cada parte dessa desigualdade por |xy| (que é positivo para (x,y)neq(0,0)), obtemos
2 - x^2y^26|xy| < 4 - 4cosraiz|xy||xy| < 2
Como x^2y^2=(|xy|)^2, isso fica
2 - |xy|6 < 4 - 4cosraiz|xy||xy| < 2

Passo 4

Quando (x,y)to(0,0), temos |xy|to0, de modo que o limite da borda inferior é 2 e o da superior também é 2. Pelo Teorema do Confronto, o limite central é 2.

Resposta

2

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