Calcule o valor do limite apenas realizando uma substituição direta:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor do limite, realizando apenas substituição direta. A expressão dada é
Informações relevantes que temos: a função dentro do limite é a razão entre dois polinômios (numerador
e denominador
) e o ponto de interesse é
. O pedido explícito é usar somente substituição direta em
.
Passo 2
O que significa “substituição direta” em limites?
- Polinômios são funções contínuas em todos os pontos, ou seja, para um polinômio
vale . - A razão (quociente) de duas funções contínuas é contínua no ponto onde o denominador não é zero. Assim, se ao substituir
o denominador for diferente de zero, então
(e a substituição direta dá o valor do limite).
- Se, ao substituir, o denominador for zero, então a substituição direta produz uma forma \emph{indeterminada} (por exemplo
), e nesse caso a substituição direta não é suficiente para determinar o limite — são necessárias outras técnicas (fatoração, cancelamento, regra de l’Hôpital, etc.).
Passo 3
Vamos aplicar a substituição direta: calcular o numerador e o denominador para
.
Calcular o numerador:
Calcular o denominador:
Passo 4
Substituição direta leva a
ou seja, a forma
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que a técnica pedida (“apenas substituição direta”) não permite encontrar o valor do limite: a substituição direta falha em determinar o limite porque o denominador ficou zero. Para obter o valor numérico do limite seria preciso usar um método adicional (por exemplo fatorar e simplificar ou aplicar a regra de l’Hôpital), mas isso fugiria da instrução dada.
Resposta
A substituição direta produz a forma indeterminada
; portanto, não é possível determinar o valor do limite apenas por substituição direta.