Calcule o valor do limite apenas realizando uma substituição direta:
\lim _{x \rightarrow 4} \frac{x^{2}-4 x}{x^{2}-3 x-4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor do limite, realizando apenas substituição direta. A expressão dada é
\lim_{x\rightarrow 4} \frac{x^{2}-4x}{x^{2}-3x-4}.
Informações relevantes que temos: a função dentro do limite é a razão entre dois polinômios (numerador (x^{2}-4x) e denominador (x^{2}-3x-4)) e o ponto de interesse é x=4. O pedido explícito é usar somente substituição direta em x=4.

Passo 2

O que significa “substituição direta” em limites?
  • Polinômios são funções contínuas em todos os pontos, ou seja, para um polinômio p(x) vale \lim_{x\to a} p(x)=p(a).
  • A razão (quociente) de duas funções contínuas é contínua no ponto onde o denominador não é zero. Assim, se ao substituir x=a o denominador for diferente de zero, então
\lim_{x\to a}\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p(a)}{q(a)}
(e a substituição direta dá o valor do limite).
  • Se, ao substituir, o denominador for zero, então a substituição direta produz uma forma \emph{indeterminada} (por exemplo \frac{0}{0}), e nesse caso a substituição direta não é suficiente para determinar o limite — são necessárias outras técnicas (fatoração, cancelamento, regra de l’Hôpital, etc.).

Passo 3

Vamos aplicar a substituição direta: calcular o numerador e o denominador para x=4.
Calcular o numerador:
x^{2}-4x \quad\text{com } x=4
4^{2}-4\cdot 4 = 16 - 16 = 0.
Calcular o denominador:
x^{2}-3x-4 \quad\text{com } x=4
4^{2}-3\cdot 4 - 4 = 16 - 12 - 4 = 0.

Passo 4

Substituição direta leva a
\frac{0}{0},
ou seja, a forma \frac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. Isso significa que a técnica pedida (“apenas substituição direta”) não permite encontrar o valor do limite: a substituição direta falha em determinar o limite porque o denominador ficou zero. Para obter o valor numérico do limite seria preciso usar um método adicional (por exemplo fatorar e simplificar ou aplicar a regra de l’Hôpital), mas isso fugiria da instrução dada.

Resposta

A substituição direta produz a forma indeterminada \frac{0}{0}; portanto, não é possível determinar o valor do limite apenas por substituição direta.

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