Calcule o valor do limite a seguir.
lim x 2 raizx-raiz2raizx+2-2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto 2raizx-raiz2raizx+2-2. Isso é um problema de limite que, ao substituir x=2, gera uma indeterminação 0/0. Para resolver, vamos usar a técnica de racionalização de expressões com raízes.

Passo 2

Vamos multiplicar numerador e denominador pela conjugada do numerador, que é raizx+raiz2. Assim, temos:
raizx-raiz2raizx+2-2 cdot raizx+raiz2raizx+raiz2 = (raizx-raiz2)(raizx+raiz2)(raizx+2-2)(raizx+raiz2)

Passo 3

No numerador aplicamos a diferença de quadrados:
(raizx-raiz2)(raizx+raiz2) = x - 2
Então o limite fica:
$$
\lim_{x\to 2} \frac{x-2}{(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})}.
$$

Passo 4

Agora, para eliminar raizx+2-2, usamos a conjugada dessa parte:
$$\sqrt{x+2}-2 = \frac{(x+2)-4}{\sqrt{x+2}+2} = \frac{x-2}{\sqrt{x+2}+2}.
raizx+2-2 = (x+2)-4raizx+2+2 = x-2raizx+2+2 ã
\lim_{x\to 2} \frac{x-2}{\frac{x-2}{\sqrt{x+2}+2},(\sqrt{x}+\sqrt{2})} = \lim_{x\to 2} \frac{x-2}{1} \cdot \frac{\sqrt{x+2}+2}{(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})}.
$$

Passo 5

Cancelamos o fator x-2 no numerador e no denominador, ficando:
limxto 2 raizx+2+2raizx+raiz2
Agora é só substituir x=2:
raiz4+2raiz2+raiz2 = 2+22raiz2 = 42raiz2 = 2raiz2 = raiz2

Passo 6

Portanto, o valor do limite é raiz2.

Resposta

raiz2

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