Calcule o valor do limite a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
. Isso é um problema de limite que, ao substituir
, gera uma indeterminação
. Para resolver, vamos usar a técnica de racionalização de expressões com raízes.
Passo 2
Vamos multiplicar numerador e denominador pela conjugada do numerador, que é
. Assim, temos:
Passo 3
No numerador aplicamos a diferença de quadrados:
Então o limite fica:
$$
\lim_{x\to 2} \frac{x-2}{(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})}.
$$
Passo 4
Agora, para eliminar
, usamos a conjugada dessa parte:
$$\sqrt{x+2}-2 = \frac{(x+2)-4}{\sqrt{x+2}+2} = \frac{x-2}{\sqrt{x+2}+2}.
\lim_{x\to 2} \frac{x-2}{\frac{x-2}{\sqrt{x+2}+2},(\sqrt{x}+\sqrt{2})} = \lim_{x\to 2} \frac{x-2}{1} \cdot \frac{\sqrt{x+2}+2}{(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})}.
$$
Passo 5
Cancelamos o fator
no numerador e no denominador, ficando:
Agora é só substituir
:
Passo 6
Portanto, o valor do limite é
.