Verifique que as funções y1 e y2 abaixo formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial no intervalo dado. Escreva a solução geral dessa equação diferencial.
y^prime prime-2 y^prime+5 y=0 ; y1(x)=e^x cos (2 x), y2(x)=e^x sin (2 x) ; (-infty,+infty)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar que as funções $ y_1 $ e $ y_2 $ formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial dada:
y1
E então, escrever a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e combinação linear de soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que $ y_1 $ e $ y_2 $ formam um conjunto fundamental de soluções. Isso quer dizer que essas duas funções são soluções da equação diferencial e que elas são linearmente independentes. Se forem, então qualquer solução geral da equação pode ser escrita como uma combinação linear dessas duas funções.

Passo 3

Vamos verificar se $ y_1(x) = e^{x} \cos(2x) $ e $ y_2(x) = e^{x} \sin(2x) $ são de fato soluções da equação diferencial. Para isso, precisamos calcular as derivadas primeiras e segundas de cada função e substituí-las na equação.

Passo 4

Calcular as derivadas de $ y_1(x) $:
Primeira derivada:
y1(x)
Segunda derivada:
y1' = e^x cos(2x) + e^x (-2 sin(2x)) = e^x (cos(2x) - 2 sin(2x))

Passo 5

Agora, substituímos $ y_1 $, $ y_1’ $ e $ y_1’’ $ na equação diferencial:
y1
Simplificando:
y1'
y1''
Então, $ y_1 $ é uma solução da equação.

Passo 6

Fazemos o mesmo para $ y_2(x) = e^{x} \sin(2x) $:
Primeira derivada:
y2(x) = e^x sin(2x)
Segunda derivada:
y2' = e^x sin(2x) + e^x (2 cos(2x)) = e^x (sin(2x) + 2 cos(2x))
Substituindo na equação diferencial:
y2'' = e^x (sin(2x) + 2 cos(2x)) + e^x (2 cos(2x) - 4 sin(2x)) = e^x (-3 sin(2x) + 4 cos(2x))
Simplificando:
y2'' - 2 y2' + 5 y2 = e^x (-3 sin(2x) + 4 cos(2x)) - 2 e^x (sin(2x) + 2 cos(2x)) + 5 e^x sin(2x)
= e^x [ -3 sin(2x) + 4 cos(2x) - 2 sin(2x) - 4 cos(2x) + 5 sin(2x) ]
Então, $ y_2 $ também é uma solução da equação.

Passo 7

Agora, precisamos garantir que $ y_1 $ e $ y_2 $ são linearmente independentes. Para isso, calculamos o Wronskiano:
y1
Substituindo:
y2
Calculando o determinante:
W(y1, y2) = y1 & y2 y1' & y2'
W = e^x cos(2x) & e^x sin(2x) e^x (cos(2x) - 2 sin(2x)) & e^x (sin(2x) + 2 cos(2x))
W = e^x cos(2x) cdot e^x (sin(2x) + 2 cos(2x)) - e^x sin(2x) cdot e^x (cos(2x) - 2 sin(2x))
= e^2x [ cos(2x)(sin(2x) + 2 cos(2x)) - sin(2x)(cos(2x) - 2 sin(2x)) ]
= e^2x [ cos(2x)sin(2x) + 2 cos^2(2x) - sin(2x)cos(2x) + 2 sin^2(2x) ]
Como o Wronskiano é diferente de zero para todo $ x $, as funções são linearmente independentes.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
y(x) = C1 e^x cos(2x) + C2 e^x sin(2x)
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes reais.

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