Verifique que as funções
e
abaixo formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial no intervalo dado. Escreva a solução geral dessa equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar que as funções $ y_1 $ e $ y_2 $ formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial dada:
E então, escrever a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e combinação linear de soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que $ y_1 $ e $ y_2 $ formam um conjunto fundamental de soluções. Isso quer dizer que essas duas funções são soluções da equação diferencial e que elas são linearmente independentes. Se forem, então qualquer solução geral da equação pode ser escrita como uma combinação linear dessas duas funções.
Passo 3
Vamos verificar se $ y_1(x) = e^{x} \cos(2x) $ e $ y_2(x) = e^{x} \sin(2x) $ são de fato soluções da equação diferencial. Para isso, precisamos calcular as derivadas primeiras e segundas de cada função e substituí-las na equação.
Passo 4
Calcular as derivadas de $ y_1(x) $:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Agora, substituímos $ y_1 $, $ y_1’ $ e $ y_1’’ $ na equação diferencial:
Simplificando:
Então, $ y_1 $ é uma solução da equação.
Passo 6
Fazemos o mesmo para $ y_2(x) = e^{x} \sin(2x) $:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Então, $ y_2 $ também é uma solução da equação.
Passo 7
Agora, precisamos garantir que $ y_1 $ e $ y_2 $ são linearmente independentes. Para isso, calculamos o Wronskiano:
Substituindo:
Calculando o determinante:
Como o Wronskiano é diferente de zero para todo $ x $, as funções são linearmente independentes.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por:
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes reais.