Determine a inclinação e a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=x^2x+1 no ponto (2, 43).

Passo 1

O enunciado pede para achar a inclinação (coeficiente angular) e a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=x^2x+1 no ponto (2,,4/3). O conteúdo principal é derivação (derivada da função) e, em seguida, montar a reta tangente usando a fórmula ponto-declive.

Passo 2

Para encontrar a inclinação usamos a regra do quociente. Definimos u(x)=x^2 e v(x)=x+1. Então
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2=2x(x+1)-x^2cdot1(x+1)^2=2x^2+2x-x^2(x+1)^2=x^2+2x(x+1)^2

Passo 3

Agora avaliamos a derivada em x=2:
f'(2)=2^2+2cdot2(2+1)^2=4+49=89,

Passo 4

Com a inclinação m=8/9 e o ponto (x0,y0)=(2,4/3), usamos a fórmula da reta tangente:
y - y0 = m,(x - x0)

Passo 5

Substituindo os valores:
y - 43=89(x-2)

Passo 6

Podemos deixar na forma explícita y=mx+b. Expandindo e isolando y:
y=89x-169+43=89x-169+129=89x-49

Resposta

A inclinação é m=tfrac89 e a equação da reta tangente é y=tfrac89x-tfrac49.

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