Use uma série Maclaurin para obter a série de potências da função f dada:
(a) f(x)=sen(pi x)
(b) f(x)=x^2 e^x
© f(x)=ln (1-x^3)
(d) f(x)=x^2raiz4+x^2.

Passo 1

A questão pede para encontrar as séries de Maclaurin (expansão em torno de 0) das funções: (a) f(x)=sin(pi x), (b) f(x)=x^2e^x, © f(x)=ln(1-x^3) e (d) f(x)=dfracx^2raiz4+x^2. Vamos usar a definição de série de Maclaurin e algumas expansões padrão.

Passo 2

Para desenvolver séries de Maclaurin, lembramos que
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,x^n
Além disso, conhecemos as séries usuais:
sin x=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)!,
e^x=sumn=0^inftyx^nn!,
ln(1+t)=sumn=1^infty(-1)^n-1t^nn,|t|<1,
(1+z)^alpha=sumn=0^inftybinomalphanz^n,|z|<1

Passo 3

Para (a), basta substituir xmapstopi x na série de sin x. Assim:
sin(pi x)=sumn=0^infty(-1)^n(pi x)^2n+1(2n+1)!

Passo 4

Para (b), multiplicamos e^x=sumn=0^inftytfracx^nn! por x^2:
x^2e^x=x^2sumn=0^inftyx^nn!=sumn=0^inftyx^n+2n!
Se preferir, reindexamos com k=n+2 e obtemos sumk=2^inftytfracx^k(k-2)!.

Passo 5

Para ©, usamos t=-x^3 na série de ln(1+t):
ln(1-x^3)=sumn=1^infty(-1)^n-1(-x^3)^nn =-sumn=1^inftyx^3nn

Passo 6

Para (d), escrevemos
x^2raiz4+x^2=x^22raiz1+tfracx^24 =x^22sumn=0^inftybinom-tfrac12nl(x^24r)^n
Aqui usamos a expansão (1+z)^-1/2=sumn=0^inftybinom-1/2nz^n com z=x^2/4.

Passo 7

Esses são os resultados das séries de Maclaurin para cada caso.

Resposta

(a) sin(pi x)=sumn=0^infty(-1)^n(pi x)^2n+1(2n+1)!
(b) x^2e^x=sumn=0^inftyx^n+2n!=sumk=2^inftyx^k(k-2)!
© ln(1-x^3)=-sumn=1^inftyx^3nn
(d) x^2raiz4+x^2=x^22sumn=0^inftybinom-tfrac12nl(x^24r)^n

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