Determine o domínio, imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
g(x)=\log _{2}(x-2)

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a função g(x)=\log_{2}(x-2): determinar o domínio, determinar a imagem (intervalo de valores que g assume) e esboçar o gráfico.
Informações dadas que vamos usar: a expressão da função é \log_{2}(x-2), ou seja, é um logaritmo de base \,2 aplicado ao argumento x-2. Não há outras informações nem figuras adicionais.

Passo 2

Entendendo o que significa a expressão g(x)=\log_{2}(x-2). Vou te explicar a definição do logaritmo de forma direta e prática: \log_{2}(A)=y significa que 2^{y}=A. Aqui a letra A representa o “argumento” do logaritmo — no nosso caso A=x-2.
Regra fundamental para o domínio de um logaritmo: o argumento do logaritmo precisa ser estritamente positivo. Ou seja, para qualquer função do tipo \log_{b}(\text{algo}) precisamos ter \text{algo}>0. Isso vem direto da definição exponencial, porque não existe expoente real que transforme a base em zero ou negativo.
Aplicando isso à nossa função: o argumento é x-2. Então impomos
x-2>0.
Resolvendo essa desigualdade:
x>2.
Portanto o domínio é o conjunto de todos os x maiores que 2.

Passo 3

Conclusão do domínio, escrita de forma adequada: o domínio de g é o intervalo
(2,\infty).
(obs.: usei a regra "argumento >0" e resolvi a desigualdade simples.)

Passo 4

Agora a imagem (range). Para entender a imagem, pense assim: a função logaritmo \log_{2}(t), quando o parâmetro t percorre todos os números positivos (0,\infty), produz todos os números reais (-\infty,\infty). Mais precisamente:
  • quando t\to 0^{+}, \log_{2}t\to -\infty;
  • quando t\to +\infty, \log_{2}t\to +\infty;
  • e \log_{2} é contínua e estritamente crescente quando a base é >1 (aqui a base é 2).
No nosso caso t=x-2 percorre (0,\infty) porque já vimos que x>2. Logo a imagem de g é todo o conjunto dos números reais:
(-\infty,\infty).

Passo 5

Pontos notáveis e interceptos (úteis para esboçar o gráfico). Vou mostrar como encontrar pontos fáceis:
  • Intercepto com o eixo x (onde g(x)=0): resolvemos
\log_{2}(x-2)=0 \iff x-2=1 \iff x=3.
Logo a curva passa por (3,0).
  • Não existe intercepto com o eixo y porque x=0 não pertence ao domínio ( 0\not>2). Então não há ponto (0,y) no gráfico.
  • Outros pontos úteis obtidos resolvendo \log_{2}(x-2)=k para alguns k:
\begin{aligned} k=-3 &\Rightarrow x-2=2^{-3}=\tfrac{1}{8}\Rightarrow x=2+\tfrac{1}{8}=2{,}125, \text{ ponto }(2{,}125,-3);\\\ k=-1 &\Rightarrow x-2=2^{-1}=\tfrac{1}{2}\Rightarrow x=2{,}5, \text{ ponto }(2{,}5,-1);\\\ k=1 &\Rightarrow x-2=2^{1}=2\Rightarrow x=4, \text{ ponto }(4,1);\\\ k=2 &\Rightarrow x-2=2^{2}=4\Rightarrow x=6, \text{ ponto }(6,2). \end{aligned}
Esses pontos dão uma boa malha para desenhar a curva.

Passo 6

Assíntota e comportamento extremo. A função tem uma assíntota vertical em x=2. Vou explicar por quê: quando x\to 2^{+} o argumento x-2\to 0^{+} e \log_{2}(x-2)\to -\infty. Assim o gráfico “desce” indefinidamente quando se aproxima de x=2 pela direita. Já quando x\to +\infty, x-2\to +\infty e \log_{2}(x-2)\to +\infty.
Portanto:
\lim_{x\to 2^{+}} g(x) = -\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty} g(x)=+\infty.

Passo 7

Monotonicidade e concavidade (para traçar a forma correta do esboço). Vou mostrar como obter isso rapidamente com derivadas (só para justificar a forma do traço; na prova você pode usar essa abordagem ou raciocinar com o gráfico do log padrão):
  • Derivada primeira:
g'(x)=\frac{1}{(x-2)\ln 2}.
Aqui \ln 2 é o logaritmo natural de \,2 (uma constante positiva). Como x-2>0 no domínio e \ln 2>0, temos g'(x)>0 para todo x do domínio: a função é estritamente crescente.
  • Derivada segunda:
g''(x)=-\frac{1}{(x-2)^{2}\ln 2}<0.
Logo a função é côncava para baixo em todo o domínio.
Interpretação prática para o esboço: a curva sobe sempre (é crescente), mas vai ficando cada vez “mais plana” (a inclinação diminui) e é côncava para baixo.

Passo 8

Como esboçar passo a passo (receita de prova, para você aplicar rápido):
  1. Desenhe a assíntota vertical tracejada em x=2. (A partir daqui tudo ocorre à direita dessa reta.)
  2. Marque o ponto (3,0) — intercepto com o eixo x.
  3. Marque os pontos (2{,}5,-1), (2{,}125,-3), (4,1), (6,2) que calculamos; isso ajuda a definir a curvatura.
  4. Ligue os pontos com uma curva suave crescente que tende a -\infty ao aproximar-se de x=2^{+} e que cresce lentamente para +\infty quando x\to+\infty. Lembre-se que a curva é côncava para baixo.
  5. Se quiser pensar em transformação: comece com o gráfico de \log_{2}x e desloque-o 2 unidades para a direita — isso coloca a assíntota em x=2 e move o intercepto x=1 para x=3.

Resposta

Domínio: (2,\infty)
Imagem: (-\infty,\infty)
Esboço (descrição): assíntota vertical em x=2; passa por (3,0), (2{,}5,-1), (2{,}125,-3), (4,1), (6,2); função estritamente crescente e côncava para baixo, com g(x)\to -\infty quando x\to 2^{+} e g(x)\to +\infty quando x\to+\infty.

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