Determine o domínio, imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a função
: determinar o domínio, determinar a imagem (intervalo de valores que
assume) e esboçar o gráfico.
Informações dadas que vamos usar: a expressão da função é , ou seja, é um logaritmo de base
aplicado ao argumento
. Não há outras informações nem figuras adicionais.
Informações dadas que vamos usar: a expressão da função é
Passo 2
Entendendo o que significa a expressão
. Vou te explicar a definição do logaritmo de forma direta e prática:
significa que
. Aqui a letra
representa o “argumento” do logaritmo — no nosso caso
.
Regra fundamental para o domínio de um logaritmo: o argumento do logaritmo precisa ser estritamente positivo. Ou seja, para qualquer função do tipo precisamos ter
. Isso vem direto da definição exponencial, porque não existe expoente real que transforme a base em zero ou negativo.
Regra fundamental para o domínio de um logaritmo: o argumento do logaritmo precisa ser estritamente positivo. Ou seja, para qualquer função do tipo
Aplicando isso à nossa função: o argumento é
. Então impomos
Resolvendo essa desigualdade:
Portanto o domínio é o conjunto de todos os
maiores que
.
Passo 3
Conclusão do domínio, escrita de forma adequada: o domínio de
é o intervalo
(obs.: usei a regra "argumento
" e resolvi a desigualdade simples.)
Passo 4
Agora a imagem (range). Para entender a imagem, pense assim: a função logaritmo
, quando o parâmetro
percorre todos os números positivos
, produz todos os números reais
. Mais precisamente:
- quando
, ; - quando
, ; - e
é contínua e estritamente crescente quando a base é (aqui a base é ).
No nosso caso
percorre
porque já vimos que
. Logo a imagem de
é todo o conjunto dos números reais:
Passo 5
Pontos notáveis e interceptos (úteis para esboçar o gráfico). Vou mostrar como encontrar pontos fáceis:
- Intercepto com o eixo
(onde ): resolvemos
Logo a curva passa por
.
- Não existe intercepto com o eixo
porque não pertence ao domínio ( ). Então não há ponto no gráfico. - Outros pontos úteis obtidos resolvendo
para alguns :
Esses pontos dão uma boa malha para desenhar a curva.
Passo 6
Assíntota e comportamento extremo. A função tem uma assíntota vertical em
. Vou explicar por quê: quando
o argumento
e
. Assim o gráfico “desce” indefinidamente quando se aproxima de
pela direita. Já quando
,
e
.
Portanto:
Passo 7
Monotonicidade e concavidade (para traçar a forma correta do esboço). Vou mostrar como obter isso rapidamente com derivadas (só para justificar a forma do traço; na prova você pode usar essa abordagem ou raciocinar com o gráfico do log padrão):
- Derivada primeira:
Aqui
é o logaritmo natural de
(uma constante positiva). Como
no domínio e
, temos
para todo
do domínio: a função é estritamente crescente.
- Derivada segunda:
Logo a função é côncava para baixo em todo o domínio.
Interpretação prática para o esboço: a curva sobe sempre (é crescente), mas vai ficando cada vez “mais plana” (a inclinação diminui) e é côncava para baixo.
Passo 8
Como esboçar passo a passo (receita de prova, para você aplicar rápido):
- Desenhe a assíntota vertical tracejada em
. (A partir daqui tudo ocorre à direita dessa reta.) - Marque o ponto
— intercepto com o eixo . - Marque os pontos
, , , que calculamos; isso ajuda a definir a curvatura. - Ligue os pontos com uma curva suave crescente que tende a
ao aproximar-se de e que cresce lentamente para quando . Lembre-se que a curva é côncava para baixo. - Se quiser pensar em transformação: comece com o gráfico de
e desloque-o unidades para a direita — isso coloca a assíntota em e move o intercepto para .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Esboço (descrição): assíntota vertical em ; passa por
,
,
,
,
; função estritamente crescente e côncava para baixo, com
quando
e
quando
.
Imagem:
Esboço (descrição): assíntota vertical em