Calcule o valor de:
\log _{81} 27

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor de \log_{81}27.
Informações dadas: a base do logaritmo é 81 e o argumento é 27. Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Lembrete básico (definição de logaritmo): quando escrevemos \log_b a = x, isso significa, por definição, que
b^x = a.
Ou seja, o logaritmo responde à pergunta: “a que potência devo elevar b para obter a?”.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso problema: seja
x=\log_{81}27.
Pela definição acima, isso equivale à equação exponencial
81^x = 27.

Passo 4

Vamos reescrever 81 e 27 como potências de um mesmo número para facilitar a comparação. Observando-os, ambos são potências de 3:
81 = 3^4 \quad\text{e}\quad 27 = 3^3.
(Explicando: 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81.)

Passo 5

Substituindo essas expressões na equação 81^x=27, obtemos
(3^4)^x = 3^3.
Usando a propriedade de potências (a^m)^n = a^{mn}, o lado esquerdo vira 3^{4x}. Logo
3^{4x} = 3^3.

Passo 6

Como as bases são iguais ( 3) e a função exponencial com base maior que 0 e diferente de 1 é injetora, os expoentes devem ser iguais. Assim
4x = 3 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{3}{4}.

Passo 7

Verificação rápida (para ficar seguro): calcular 81^{3/4}. Primeiro 81^{1/4} = (3^4)^{1/4} = 3. Depois (81^{1/4})^3 = 3^3 = 27. Portanto 81^{3/4}=27, consistente com o resultado.

Passo 8

Comentário adicional (método alternativo curto): pelo teorema da mudança de base,
\log_{81}27 = \frac{\log_3 27}{\log_3 81} = \frac{3}{4},
porque \log_3 27=3 e \log_3 81=4.

Resposta

\tfrac{3}{4}

Exercícios relacionados