Calcule o valor de:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o valor de
.
Informações dadas: a base do logaritmo é e o argumento é
. Não há outras informações no enunciado.
Informações dadas: a base do logaritmo é
Passo 2
Lembrete básico (definição de logaritmo): quando escrevemos
, isso significa, por definição, que
Ou seja, o logaritmo responde à pergunta: “a que potência devo elevar
para obter
?”.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso problema: seja
Pela definição acima, isso equivale à equação exponencial
Passo 4
Vamos reescrever
e
como potências de um mesmo número para facilitar a comparação. Observando-os, ambos são potências de
:
(Explicando:
,
,
.)
Passo 5
Substituindo essas expressões na equação
, obtemos
Usando a propriedade de potências
, o lado esquerdo vira
. Logo
Passo 6
Como as bases são iguais (
) e a função exponencial com base maior que 0 e diferente de 1 é injetora, os expoentes devem ser iguais. Assim
Passo 7
Verificação rápida (para ficar seguro): calcular
. Primeiro
. Depois
. Portanto
, consistente com o resultado.
Passo 8
Comentário adicional (método alternativo curto): pelo teorema da mudança de base,
porque
e
.