A) Calcule o valor médio da distância de um elétron ao núcleo do átomo de hidrogênio. Calcule a probabilidade de encontrar o elétron em uma casca de esfera de 1 pm a partir do núcleo ( ) e em .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre o átomo de hidrogênio! O que a gente precisa aqui é calcular a distância média que um elétron tem em relação ao núcleo e também a probabilidade de encontrar esse elétron em uma casca esférica a 1 pm do núcleo e no raio de Bohr, que chamamos de . Para isso, vamos usar conceitos da mecânica quântica, mais especificamente a função de onda do elétron no átomo de hidrogênio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no átomo de hidrogênio, a função de onda do elétron no estado fundamental (mais simples) é dada por:
Aqui, é a distância do elétron ao núcleo e é o raio de Bohr, que é aproximadamente Ångströms (ou pm).
Passo 3
Para encontrar a distância média , usamos a fórmula da expectativa:
O termo é a densidade de probabilidade e é o elemento de volume em coordenadas esféricas.
Passo 4
Vamos calcular :
Passo 5
Substituindo na fórmula da expectativa:
lang<= r rang<= = integral0^infty r cdot 1pi a0^3 e^-2r/a0 cdot 4pi r^2 dr = 4a0^3 integral0^infty r^3 e^-2r/a0 dr
P(a0) approx 452,9 e^-2 approx 452,9 times 0,1353 approx 0,01024
Ou seja, cerca de 1,02% de probabilidade de encontrar o elétron no raio de Bohr a0.
Resposta
A distância média do elétron ao núcleo é lang<= r rang<= = 1,5, a0. A probabilidade de encontrar o elétron em uma casca de 1,pm do núcleo é praticamente zero, e a probabilidade de encontrá-lo no raio de Bohr a0 é aproximadamente 1,02%.