A) Calcule o valor médio da distância de um elétron ao núcleo do átomo de hidrogênio. Calcule a probabilidade de encontrar o elétron em uma casca de esfera de 1 pm a partir do núcleo ( r=0 ) e em a0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre o átomo de hidrogênio! O que a gente precisa aqui é calcular a distância média que um elétron tem em relação ao núcleo e também a probabilidade de encontrar esse elétron em uma casca esférica a 1 pm do núcleo e no raio de Bohr, que chamamos de a0. Para isso, vamos usar conceitos da mecânica quântica, mais especificamente a função de onda do elétron no átomo de hidrogênio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no átomo de hidrogênio, a função de onda do elétron no estado fundamental (mais simples) é dada por:
psi(r) = 1raizpi a0^3 e^-r/a0
Aqui, r é a distância do elétron ao núcleo e a0 é o raio de Bohr, que é aproximadamente 0,529 Ångströms (ou 52,9 pm).

Passo 3

Para encontrar a distância média lang<= r rang<=, usamos a fórmula da expectativa:
lang<= r rang<= = integral0^infty r cdot |psi(r)|^2 cdot 4pi r^2 dr
O termo |psi(r)|^2 é a densidade de probabilidade e 4pi r^2 dr é o elemento de volume em coordenadas esféricas.

Passo 4

Vamos calcular |psi(r)|^2:
|psi(r)|^2 = (1raizpi a0^3 e^-r/a0)^2 = 1pi a0^3 e^-2r/a0

Passo 5

Substituindo na fórmula da expectativa:
lang<= r rang<= = integral0^infty r cdot 1pi a0^3 e^-2r/a0 cdot 4pi r^2 dr = 4a0^3 integral0^infty r^3 e^-2r/a0 dr

Passo 6

A integral que temos agora é:
integral0^infty r^3 e^-2r/a0 dr
Sabemos que:
integral0^infty r^n e^-alpha r dr = n!alpha^n+1
Para n=3 e alpha = 2/a0, temos:
integral0^infty r^3 e^-2r/a0 dr = 3!(2/a0)^4 = 616/a0^4 = 6 a0^416 = 3 a0^48

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de lang<= r rang<=:
lang<= r rang<= = 4a0^3 cdot 3 a0^48 = 12 a08 = 3 a02 = 1,5, a0

Passo 8

Agora, vamos calcular a probabilidade de encontrar o elétron em uma casca esférica de raio r. A probabilidade é dada por:
P(r) = |psi(r)|^2 cdot 4pi r^2

Passo 9

Primeiro, para r = 1,pm:
P(1,pm) = 1pi a0^3 e^-2(1)/a0 cdot 4pi (1)^2 = 4a0^3 e^-2/a0
Sabendo que a0 approx 52,9,pm, substituindo:
P(1,pm) approx 4(52,9)^3 e^-2/52,9
Calculando isso, a probabilidade é extremamente baixa, praticamente zero, já que 1,pm é muito próximo do núcleo.

Passo 10

Agora, para r = a0:
P(a0) = 1pi a0^3 e^-2a0/a0 cdot 4pi a0^2 = 4a0^3 e^-2 a0^2 = 4a0 e^-2
Calculando os valores numéricos:
P(a0) approx 452,9 e^-2 approx 452,9 times 0,1353 approx 0,01024
Ou seja, cerca de 1,02% de probabilidade de encontrar o elétron no raio de Bohr a0.

Resposta

A distância média do elétron ao núcleo é lang<= r rang<= = 1,5, a0. A probabilidade de encontrar o elétron em uma casca de 1,pm do núcleo é praticamente zero, e a probabilidade de encontrá-lo no raio de Bohr a0 é aproximadamente 1,02%.

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