Um cilindro de massa
e raio
cm é colocado (inicialmente em repouso) no topo de uma rampa com um ângulo de inclinação
e altura
. Sabendo que o cilindro (
, em relação ao centro de massa) rola sem deslizar até o final da rampa,
b) Escreva as equações oriundas de
.
b) Escreva as equações oriundas de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá rolando aqui. Temos um cilindro com massa $ M $ e raio $ R $ que está no topo de uma rampa inclinada com ângulo $ \theta $ e altura $ h $. A gente sabe que o cilindro rola sem deslizar até o final da rampa. Para resolver essa parte do exercício, vamos usar as Leis de Newton para movimentos translacionais e rotacionais. Precisamos escrever as equações resultantes de $ \Sigma \boldsymbol{F} = M \boldsymbol{A}_{\mathrm{cm}} $ (Força resultante igual a massa vezes aceleração do centro de massa) e $ \Sigma \boldsymbol{\tau} = I \boldsymbol{\alpha} $ (Torque resultante igual ao momento de inércia vezes a aceleração angular).
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as forças que atuam no cilindro. Na rampa inclinada, temos duas forças principais:
- Peso ($ \boldsymbol{P} $): que atua para baixo, com módulo $ P = M g $, onde $ g $ é a aceleração da gravidade.
- Força de Atrito ($ \boldsymbol{f} $): que impede o deslizamento e faz o cilindro rolar, atuando na direção oposta ao movimento.
Como o cilindro não está se movendo verticalmente, a força normal ($ \boldsymbol{N} $) da rampa sobre o cilindro equilibra a componente perpendicular do peso.
Passo 3
Vamos decompor a força peso nas direções paralela e perpendicular à rampa:
- Paralela à rampa: $ P_{\parallel} = M g \sin \theta $
- Perpendicular à rampa: $ P_{\perp} = M g \cos \theta $
A força normal $ N $ equilibra $ P_{\perp} $:
Passo 4
Agora, aplicando a segunda lei de Newton para o movimento translacional na direção paralela à rampa:
As forças na direção paralela são $ P_{\parallel} $ para baixo e a força de atrito $ f $ para cima. Então:
Passo 5
Vamos agora considerar o movimento rotacional. A segunda lei de Newton para torques é:
O torque é gerado pela força de atrito $ f $, que está a uma distância $ R $ do centro do cilindro:
Então:
Passo 6
Sabemos que o cilindro rola sem deslizar, o que significa que a aceleração linear $ a $ e a aceleração angular $ \alpha $ estão relacionadas por:
Podemos rearranjar para:
Passo 7
Substituindo $ \alpha = \frac{a}{R} $ na equação do torque:
Resposta
As equações resultantes são:
- Da força resultante:
- Do torque resultante:
e, considerando a condição de rolagem sem deslizar: