Considere um sistema composto por duas partículas de massa 2 kg cada, cujas posições em função do tempo são dadas pelos vetores r1=(4 t, t^2, 0), r2=(2 t, t^4, 0).
d) Qual o momento angular de cada partícula?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre momento angular! A gente tem duas partículas, cada uma com 2 kg, e as posições delas variam com o tempo segundo as funções fornecidas. Nosso objetivo aqui é descobrir o momento angular de cada partícula. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática (para encontrar a velocidade) e produto vetorial (para calcular o momento angular).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento angular ( L) de uma partícula é dado pela fórmula:
L = r times p
Onde:
  • r é o vetor posição.
  • p é o momento linear, que é massa ( m) vezes velocidade ( v): p = m v.
Então, precisamos primeiro encontrar a velocidade de cada partícula, derivando o vetor posição em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos calcular a velocidade das duas partículas:
Para a primeira partícula:
r1(t) = (4t, t^2, 0)
Derivando em relação ao tempo t:
v1(t) = dr1dt = (4, 2t, 0)
Para a segunda partícula:
r2(t) = (2t, t^4, 0)
Derivando em relação ao tempo t:
v2(t) = dr2dt = (2, 4t^3, 0)

Passo 4

Agora, vamos calcular o momento linear ( p) de cada partícula usando a massa m = 2,kg:
Para a primeira partícula:
p1(t) = m v1(t) = 2 times (4, 2t, 0) = (8, 4t, 0)
Para a segunda partícula:
p2(t) = m v2(t) = 2 times (2, 4t^3, 0) = (4, 8t^3, 0)

Passo 5

Agora, vamos calcular o momento angular ( L) de cada partícula usando o produto vetorial entre r e p:
Para o produto vetorial, lembrando que:
a times b = (aybz - azby, azbx - axbz, axby - aybx)
Como as coordenadas z são zero para ambas as partículas, os componentes x e y do momento angular serão zero, e só teremos um componente na direção z.
Vamos calcular para a primeira partícula:
L1(t) = r1(t) times p1(t) = (4t, t^2, 0) times (8, 4t, 0) = (0, 0, (4t)(4t) - t^2(8)) = (0, 0, 16t^2 - 8t^2) = (0, 0, 8t^2)
Para a segunda partícula:
L2(t) = r2(t) times p2(t) = (2t, t^4, 0) times (4, 8t^3, 0) = (0, 0, (2t)(8t^3) - t^4(4)) = (0, 0, 16t^4 - 4t^4) = (0, 0, 12t^4)

Resposta

O momento angular de cada partícula é dado por:
L1(t) = (0,,0,,8t^2) , kg·m²/s ²
L2(t) = (0,,0,,12t^4) , kg·m²/s ²

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