calcule el valor medio de la función \mathrm{z}=f(x, y) dada, en la región indicada
f(x, y)=x y, en el cuadrado R=[0,1] \times[0,1]

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x y definida na região quadrada R=[0,1]\times[0,1]. A pergunta é: calcular o valor médio (média) de f na região R.
Informações relevantes fornecidas:
  • f(x,y)=x y.
  • R=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\\\ 0\le y\le1\}.
  • Quer-se o valor médio de f sobre R.

Passo 2

Definição (fórmula que vamos usar). O valor médio de uma função f numa região R de área positiva é
\overline{f}=\frac{1}{\text{area}(R)}\iint_{R} f(x,y)\,dA.
Explicando cada símbolo:
  • \overline{f} é o valor médio desejado.
  • \text{area}(R) é a área da região R.
  • \iint_{R} f(x,y)\,dA é a integral dupla de f sobre R; dA representa um elemento de área (por exemplo dA=dx\,dy ou dy\,dx).
    Essa fórmula diz: “média = (soma de todos os valores de f na região, ponderada por área) dividido pela área total”.

Passo 3

Calcular a área de R. Como R é o quadrado [0,1]\times[0,1],
\text{area}(R)=(1-0)\cdot(1-0)=1.
Portanto o denominador da fórmula é 1.

Passo 4

Montar a integral dupla para \iint_{R} x y\,dA. Podemos escrever a integral como integral iterada (pela continuidade de f vale o Teorema de Fubini):
\iint_{R} x y\,dA=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} x y\,dy\,dx.
Aqui escolhi integrar primeiro em y e depois em x; poderia inverter a ordem sem problema.

Passo 5

Calcular a integral interna \int_{0}^{1} x y\,dy. Ao integrar em y, x é constante, então
\int_{0}^{1} x y\,dy = x\int_{0}^{1} y\,dy.
Agora integrar y (regra básica: \int y\,dy=\tfrac{y^{2}}{2}):
x\int_{0}^{1} y\,dy = x\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=x\cdot\frac{1}{2}=\frac{x}{2}.

Passo 6

Calcular a integral externa \int_{0}^{1} \frac{x}{2}\,dx. Fatorando a constante:
\int_{0}^{1} \frac{x}{2}\,dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1} x\,dx.
Integrando x (regra: \int x\,dx=\tfrac{x^{2}}{2}):
\frac{1}{2}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.
Portanto
\iint_{R} x y\,dA=\frac{1}{4}.

Passo 7

Aplicar a fórmula do valor médio. Como \text{area}(R)=1,
\overline{f}=\frac{1}{\text{area}(R)}\iint_{R} f(x,y)\,dA=\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{4}.
Observação útil (intuição rápida): para funções separáveis f(x,y)=g(x)h(y) numa região produto, o valor médio é o produto das médias de g e h. Aqui a média de x em [0,1] é \tfrac{1}{2} e a média de y é \tfrac{1}{2}, logo \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}, que coincide com o cálculo.

Resposta

\tfrac{1}{4}

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