calcule el valor medio de la función
dada, en la región indicada
, en el cuadrado
Passo 1
O enunciado dá a função
definida na região quadrada
. A pergunta é: calcular o valor médio (média) de
na região
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
. -
. - Quer-se o valor médio de
sobre .
Passo 2
Definição (fórmula que vamos usar). O valor médio de uma função
numa região
de área positiva é
Explicando cada símbolo:
-
é o valor médio desejado. -
é a área da região . -
é a integral dupla de sobre ; representa um elemento de área (por exemplo ou ).
Essa fórmula diz: “média = (soma de todos os valores dena região, ponderada por área) dividido pela área total”.
Passo 3
Calcular a área de
. Como
é o quadrado
,
Portanto o denominador da fórmula é
.
Passo 4
Montar a integral dupla para
. Podemos escrever a integral como integral iterada (pela continuidade de
vale o Teorema de Fubini):
Aqui escolhi integrar primeiro em
e depois em
; poderia inverter a ordem sem problema.
Passo 5
Calcular a integral interna
. Ao integrar em
,
é constante, então
Agora integrar
(regra básica:
):
Passo 6
Calcular a integral externa
. Fatorando a constante:
Integrando
(regra:
):
Portanto
Passo 7
Aplicar a fórmula do valor médio. Como
,
Observação útil (intuição rápida): para funções separáveis
numa região produto, o valor médio é o produto das médias de
e
. Aqui a média de
em
é
e a média de
é
, logo
, que coincide com o cálculo.