calcule el valor medio de la función
dada, en la región indicada
, en la región
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e a região
definida por
O que se pede: calcular o valor médio (média) da função
na região
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
. - A região
é o triângulo no primeiro quadrante limitado pelas retas , e . - Precisa-se do valor médio, ou seja um número que represente a média de
em toda a região .
Passo 2
Explicação do conceito e da fórmula que vamos usar. O valor médio de uma função
sobre uma região
do plano é dado por
Aqui:
-
é o valor médio que queremos; -
é a área da região ; -
é a integral dupla de sobre , que soma (integra) os valores de em toda a região; representa um elemento de área (pense em retângulos infinitesimais de base e altura ).
Vou calcular primeiro
e depois a integral dupla
.
Passo 3
Calcular a área da região
. A região
é um triângulo retângulo com vértices em
,
e
. A base pode ser tomada como o segmento entre
e
, de comprimento
, e a altura correspondente é
. Assim a área é
Explicando de forma intuitiva: metade do quadrado unitário é o triângulo definido por
no primeiro quadrante.
Passo 4
Escolher e justificar os limites de integração para a integral dupla. Uma escolha natural é integrar primeiro em
e depois em
. Para um valor fixo de
entre
e
, a condição
dá
. Portanto os limites são
Assim podemos escrever a integral dupla como
Observação: separar
em duas integrais facilita, pois
, e no segundo termo
é constante em relação a
.
Passo 5
Calcular a contribuição da parte
. Primeiro integramos em
:
Agora integramos em
de
a
:
Expandindo o integrando ou usando substituição, calculamos
Portanto
Logo a contribuição de
para a integral dupla é
Passo 6
Calcular a contribuição da parte
. Voltando à integral iterada,
Agora integrar em
de
a
:
Observação simpática: por simetria da região e da função, era de se esperar que as duas contribuições fossem iguais, porque trocar
por
mantém
e
e
trocam de papel.
Passo 7
Somar as contribuições das duas partes para obter a integral dupla completa:
Passo 8
Calcular o valor médio usando a fórmula do Passo 2. Já temos
e
. Assim
Interpretação rápida: a média de
nesse triângulo vale
, um número razoável entre
(origem) e
(valor máximo possível dentro do quadrado, mas não alcançado no triângulo).