calcule el valor medio de la función \mathrm{z}=f(x, y) dada, en la región indicada
f(x, y)=x^{2}+y^{2}, en la región R=\{(x, y) \mid x+y \leq 1, x \geq 0, y \geq 0\}

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=x^{2}+y^{2} e a região R definida por
R=\{(x,y)\mid x+y\leq 1,\; x\geq 0,\; y\geq 0\}.
O que se pede: calcular o valor médio (média) da função f na região R.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • A região R é o triângulo no primeiro quadrante limitado pelas retas x=0, y=0 e x+y=1.
  • Precisa-se do valor médio, ou seja um número que represente a média de f em toda a região R.

Passo 2

Explicação do conceito e da fórmula que vamos usar. O valor médio de uma função f sobre uma região R do plano é dado por
\bar{f}=\frac{1}{\text{Área}(R)}\iint_{R} f(x,y)\,dA.Á
Aqui:
  • \bar{f} é o valor médio que queremos;
  • \text{Área}(R)Á é a área da região R;
  • \iint_{R} f(x,y)\,dA é a integral dupla de f sobre R, que soma (integra) os valores de f em toda a região; dA representa um elemento de área (pense em retângulos infinitesimais de base dx e altura dy).
Vou calcular primeiro \text{Área}(R)Á e depois a integral dupla \iint_{R} f(x,y)\,dA.

Passo 3

Calcular a área da região R. A região R é um triângulo retângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1). A base pode ser tomada como o segmento entre (0,0) e (1,0), de comprimento 1, e a altura correspondente é 1. Assim a área é
\text{Área}(R)=\frac{\text{base}\times\text{altura}}{2}=\frac{1\cdot 1}{2}=\frac{1}{2}.Á
Explicando de forma intuitiva: metade do quadrado unitário é o triângulo definido por x+y\leq 1 no primeiro quadrante.

Passo 4

Escolher e justificar os limites de integração para a integral dupla. Uma escolha natural é integrar primeiro em x e depois em y. Para um valor fixo de y entre 0 e 1, a condição x+y\leq 1 0\leq x\leq 1-y. Portanto os limites são
0\leq y\leq 1,\qquad 0\leq x\leq 1-y.
Assim podemos escrever a integral dupla como
\iint_{R} f(x,y)\,dA=\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{1-y} \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx\,dy.
Observação: separar x^{2}+y^{2} em duas integrais facilita, pois \int (x^{2}+y^{2})\,dx = \int x^{2}\,dx + \int y^{2}\,dx, e no segundo termo y^{2} é constante em relação a x.

Passo 5

Calcular a contribuição da parte x^{2}. Primeiro integramos em x:
\int_{x=0}^{1-y} x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1-y}=\frac{(1-y)^{3}}{3}.
Agora integramos em y de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\frac{(1-y)^{3}}{3}\,dy=\frac{1}{3}\int_{0}^{1}(1-y)^{3}\,dy.
Expandindo o integrando ou usando substituição, calculamos
(1-y)^{3}=1-3y+3y^{2}-y^{3}.
Portanto
\int_{0}^{1}(1-y)^{3}\,dy=\left[y-\tfrac{3}{2}y^{2}+y^{3}-\tfrac{1}{4}y^{4}\right]_{0}^{1}=1-\tfrac{3}{2}+1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{4}.
Logo a contribuição de x^{2} para a integral dupla é
\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{12}.

Passo 6

Calcular a contribuição da parte y^{2}. Voltando à integral iterada,
\int_{x=0}^{1-y} y^{2}\,dx = y^{2}\int_{0}^{1-y} dx = y^{2}(1-y).
Agora integrar em y de 0 a 1:
\int_{0}^{1} y^{2}(1-y)\,dy = \int_{0}^{1} (y^{2}-y^{3})\,dy = \left[\tfrac{1}{3}y^{3}-\tfrac{1}{4}y^{4}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{12}.
Observação simpática: por simetria da região e da função, era de se esperar que as duas contribuições fossem iguais, porque trocar x por y mantém R e x^{2} e y^{2} trocam de papel.

Passo 7

Somar as contribuições das duas partes para obter a integral dupla completa:
\iint_{R} (x^{2}+y^{2})\,dA = \frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{1}{6}.

Passo 8

Calcular o valor médio usando a fórmula do Passo 2. Já temos \iint_{R} f\,dA=\tfrac{1}{6} e \text{Área}(R)=\tfrac{1}{2}Á. Assim
\bar{f}=\frac{1}{\text{Área}(R)}\iint_{R} f\,dA = \frac{1}{\tfrac{1}{2}}\cdot \frac{1}{6}=2\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{3}.Á
Interpretação rápida: a média de x^{2}+y^{2} nesse triângulo vale \tfrac{1}{3}, um número razoável entre 0 (origem) e 2 (valor máximo possível dentro do quadrado, mas não alcançado no triângulo).

Resposta

\dfrac{1}{3}

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