calcular los momentos de inercia indicados
De la región R=\{(x, y) \mid y \leq \operatorname{sen} x, 0 \leq x \leq \pi\} respecto del eje x

Passo 1

O enunciado dá a região R=\{(x,y)\mid y\leq \operatorname{sen} x,\;0\leq x\leq\pi\} e pede os momentos de inércia em relação ao eixo x. Para que a região seja limitada (caso contrário y\leq\operatorname{sen} x seria ilimitada para y\to-\infty), vou interpretar a região da forma usual e mais razoável:
R=\{(x,y)\mid 0\leq x\leq\pi,\;0\leq y\leq \operatorname{sen} x\}.
Lista das informações relevantes que vou usar (peguei-as do enunciado e da interpretação acima):
  • A fronteira superior é y=\operatorname{sen} x para 0\leq x\leq\pi.
  • A fronteira inferior é y=0.
  • O eixo de referência é o eixo x.
  • Vou assumir densidade superficial uniforme igual a 1 (momento de inércia do área/lamina com densidade unitária).

Passo 2

Lembrando a definição: o momento de inércia de uma lâmina plana (densidade unitária) em relação ao eixo x é
I_x=\iint_{R} y^{2}\,dA.
Aqui dA é o elemento de área, e y^2 é a distância ao quadrado de um ponto (x,y) ao eixo x. Explico: cada pequeno retângulo de área dA contribui com massa proporcional a dA e com momento (\text{distância ao eixo})^2\times dAâ, e para o eixo x essa distância é |y|, logo y^2.

Passo 3

Como a região é dada por 0\leq x\leq\pi e 0\leq y\leq\operatorname{sen} x, podemos escrever a integral dupla como integral iterada (integramos primeiro em y, depois em x):
I_x=\int_{x=0}^{\pi}\left(\int_{y=0}^{\operatorname{sen} x} y^{2}\,dy\right)dx.
Vou calcular a integral interna \int_{0}^{\operatorname{sen} x} y^{2}\,dy.

Passo 4

Calcule a integral em y:
\int_{0}^{\operatorname{sen} x} y^{2}\,dy=\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{\operatorname{sen} x}=\frac{(\operatorname{sen} x)^{3}}{3}.
Portanto
I_x=\int_{0}^{\pi} \frac{\operatorname{sen}^{3}x}{3}\,dx=\frac{1}{3}\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}^{3}x\,dx.

Passo 5

Agora preciso calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}^{3}x\,dx. Uso a identidade conveniente e uma substituição: escrevo \operatorname{sen}^{3}x=\operatorname{sen} x(1-\cos^{2}x). Então,
\int \operatorname{sen}^{3}x\,dx=\int \operatorname{sen} x\,dx - \int \operatorname{sen} x\cos^{2}x\,dx.
Faço a substituição u=\cos x (logo du=-\operatorname{sen} x\,dx) para a integral que sobra; de forma direta:
\int \operatorname{sen}^{3}x\,dx=\int (1-u^{2})(-du)=-\int(1-u^{2})\,du=-u+\frac{u^{3}}{3}+C.
Voltando a x,
\int \operatorname{sen}^{3}x\,dx=-\cos x+\frac{\cos^{3}x}{3}+C.

Passo 6

Avalio o integral definido de 0 a \pi:
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}^{3}x\,dx=\left[-\cos x+\frac{\cos^{3}x}{3}\right]_{0}^{\pi}.
Calculo os valores:
  • Para x=\pi: \cos\pi=-1, então -\cos\pi+\dfrac{\cos^{3}\pi}{3}= -(-1)+\dfrac{(-1)^{3}}{3}=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}.
  • Para x=0: \cos0=1, então -\cos0+\dfrac{\cos^{3}0}{3}= -1+\dfrac{1}{3}=-\dfrac{2}{3}.
Subtraindo:
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}^{3}x\,dx=\dfrac{2}{3}-\left(-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{4}{3}.

Passo 7

Volto para I_x:
I_x=\frac{1}{3}\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}^{3}x\,dx=\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{3}=\frac{4}{9}.
Interpretação final: para densidade unitária, o momento de inércia da região R em relação ao eixo x é \dfrac{4}{9}. Se houvesse uma densidade constante \rho, o resultado seria \rho\cdot \dfrac{4}{9}.

Resposta

\displaystyle I_x=\frac{4}{9}

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