calcular los momentos de inercia indicados
De la región
respecto del eje
De la región
Passo 1
O enunciado dá a região
e pede os momentos de inércia em relação ao eixo
. Para que a região seja limitada (caso contrário
seria ilimitada para
), vou interpretar a região da forma usual e mais razoável:
Lista das informações relevantes que vou usar (peguei-as do enunciado e da interpretação acima):
- A fronteira superior é
para . - A fronteira inferior é
. - O eixo de referência é o eixo
. - Vou assumir densidade superficial uniforme igual a
(momento de inércia do área/lamina com densidade unitária).
Passo 2
Lembrando a definição: o momento de inércia de uma lâmina plana (densidade unitária) em relação ao eixo
é
Aqui
é o elemento de área, e
é a distância ao quadrado de um ponto
ao eixo
. Explico: cada pequeno retângulo de área
contribui com massa proporcional a
e com momento
, e para o eixo
essa distância é
, logo
.
Passo 3
Como a região é dada por
e
, podemos escrever a integral dupla como integral iterada (integramos primeiro em
, depois em
):
Vou calcular a integral interna
.
Passo 4
Calcule a integral em
:
Portanto
Passo 5
Agora preciso calcular
. Uso a identidade conveniente e uma substituição: escrevo
. Então,
Faço a substituição
(logo
) para a integral que sobra; de forma direta:
Voltando a
,
Passo 6
Avalio o integral definido de
a
:
Calculo os valores:
- Para
: , então - Para
: , então
Subtraindo:
Passo 7
Volto para
:
Interpretação final: para densidade unitária, o momento de inércia da região
em relação ao eixo
é
. Se houvesse uma densidade constante
, o resultado seria
.