calcular los momentos de inercia indicados
De un triángulo isósceles de base
y altura
, respecto de su base
De un triángulo isósceles de base
Passo 1
Vamos deixar claro o que o enunciado pede e o que sabemos. O enunciado dá:
- Um triângulo isósceles de base
e altura . - Pede o momento de inércia (segunda momento de área) do triângulo “respecto de sua base” — isto é, em relação ao eixo que coincide com a reta da base do triângulo (um eixo horizontal passando pela base).
Informações relevantes:
- A base tem comprimento
. - A altura (distância da base até o vértice oposto) é
. - A distribuição de área é uniforme (lamina delgada), portanto o momento de inércia de área é dado por integrais do tipo
quando o eixo é horizontal.
Passo 2
Escolher um sistema de coordenadas e descrever um elemento de área para integrar.
Coloca-se a origem em um ponto da base, por exemplo no meio da base ou em uma extremidade. Para simplificar a simetria, mede-se a coordenada vertical
a partir da base para cima, com
na base e
no vértice. Em uma fatia horizontal a altura
a largura da seção transversal (comprimento da fatia) é proporcional à distância até o vértice.
Para um triângulo isósceles a largura da seção horizontal em altura
é
Explicação: em
tem-se
; em
tem-se
; a variação é linear.
Um elemento de área (fatia horizontal) tem espessura
e área
Passo 3
Escrever a expressão do momento de inércia em relação ao eixo da base.
O momento de inércia de área em relação a um eixo horizontal que passa pela base é definido por
Substituindo o elemento
em termos de
e integrando de
até
obtemos
Passo 4
Desenvolver a integral passo a passo.
Primeiro expandimos o integrando:
Agora calculamos as primitivas termo a termo:
Substituindo na expressão de
:
Passo 5
Simplificar o resultado da integral.
Continuando a simplificação:
Portanto
Passo 6
Comentário didático extra (útil na prova): relação com o centroide e o teorema dos eixos paralelos.
A área do triângulo é
O centróide situa-se a uma distância
acima da base. O momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centróide e paralelo à base (chamaremos de
) pode ser obtido pelo teorema dos eixos paralelos (Steiner):
Como já encontramos
, podemos isolar
:
Isto confirma que o momento em relação ao centróide é
e que o valor na base é
, consistentes entre si.