calcular los momentos de inercia indicados
De un triángulo isósceles de base a y altura h, respecto de su base

Passo 1

Vamos deixar claro o que o enunciado pede e o que sabemos. O enunciado dá:
  • Um triângulo isósceles de base \,a\, e altura \,h\,.
  • Pede o momento de inércia (segunda momento de área) do triângulo “respecto de sua base” — isto é, em relação ao eixo que coincide com a reta da base do triângulo (um eixo horizontal passando pela base).
Informações relevantes:
  • A base tem comprimento \,a\,.
  • A altura (distância da base até o vértice oposto) é \,h\,.
  • A distribuição de área é uniforme (lamina delgada), portanto o momento de inércia de área é dado por integrais do tipo \int y^{2}\,dA quando o eixo é horizontal.

Passo 2

Escolher um sistema de coordenadas e descrever um elemento de área para integrar.
Coloca-se a origem em um ponto da base, por exemplo no meio da base ou em uma extremidade. Para simplificar a simetria, mede-se a coordenada vertical \,y\, a partir da base para cima, com \,y=0\, na base e \,y=h\, no vértice. Em uma fatia horizontal a altura y a largura da seção transversal (comprimento da fatia) é proporcional à distância até o vértice.
Para um triângulo isósceles a largura da seção horizontal em altura \,y\, é
w(y)=a\left(1-\frac{y}{h}\right).
Explicação: em y=0 tem-se w(0)=a; em y=h tem-se w(h)=0; a variação é linear.
Um elemento de área (fatia horizontal) tem espessura dy e área
dA=w(y)\,dy=a\left(1-\frac{y}{h}\right)dy.

Passo 3

Escrever a expressão do momento de inércia em relação ao eixo da base.
O momento de inércia de área em relação a um eixo horizontal que passa pela base é definido por
I_{\text{base}}=\int_{A} y^{2}\,dA.
Substituindo o elemento dA em termos de y e integrando de y=0 até y=h obtemos
I_{\text{base}}=\int_{0}^{h} y^{2}\,w(y)\,dy =\int_{0}^{h} y^{2}\,a\left(1-\frac{y}{h}\right)dy.

Passo 4

Desenvolver a integral passo a passo.
Primeiro expandimos o integrando:
I_{\text{base}}=a\int_{0}^{h}\left(y^{2}-\frac{y^{3}}{h}\right)dy.
Agora calculamos as primitivas termo a termo:
\int_{0}^{h} y^{2}\,dy=\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{h}=\frac{h^{3}}{3},
\int_{0}^{h} y^{3}\,dy=\left[\frac{y^{4}}{4}\right]_{0}^{h}=\frac{h^{4}}{4}.
Substituindo na expressão de I_{\text{base}}:
I_{\text{base}}=a\left(\frac{h^{3}}{3}-\frac{1}{h}\cdot\frac{h^{4}}{4}\right).

Passo 5

Simplificar o resultado da integral.
Continuando a simplificação:
I_{\text{base}}=a\left(\frac{h^{3}}{3}-\frac{h^{3}}{4}\right) =a\,h^{3}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) =a\,h^{3}\cdot\frac{1}{12}.
Portanto
I_{\text{base}}=\frac{a\,h^{3}}{12}.

Passo 6

Comentário didático extra (útil na prova): relação com o centroide e o teorema dos eixos paralelos.
A área do triângulo é
A=\frac{1}{2}a\,h.
O centróide situa-se a uma distância \,y_{c}=\dfrac{h}{3}\, acima da base. O momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centróide e paralelo à base (chamaremos de I_{c}) pode ser obtido pelo teorema dos eixos paralelos (Steiner):
I_{\text{base}}=I_{c}+A\,y_{c}^{2}.
Como já encontramos I_{\text{base}}=\dfrac{a h^{3}}{12}, podemos isolar I_{c}:
I_{c}=I_{\text{base}}-A\,y_{c}^{2} =\frac{a h^{3}}{12}-\left(\frac{1}{2}a h\right)\left(\frac{h}{3}\right)^{2} =\frac{a h^{3}}{12}-\frac{a h^{3}}{18} =\frac{a h^{3}}{36}.
Isto confirma que o momento em relação ao centróide é \dfrac{a h^{3}}{36} e que o valor na base é \dfrac{a h^{3}}{12}, consistentes entre si.

Resposta

\displaystyle I_{\text{base}}=\frac{a\,h^{3}}{12}

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