Calcule o valor medio das funções (no intervalo indicado):
f(t)=t^2-5 t+6 cos (pi t) em[-1,5 / 2] (Resp: 127 pi-136 )

Passo 1

A questão pede para calcular o valor médio da função f(t)=t^2-5t+6cos(pi t) no intervalo [-1,tfrac52]. O conteúdo envolve valor médio de funções contínuas, cuja definição usa integração. Para resolver, precisamos encontrar uma primitiva de f(t), avaliar a integral definida de -1 a 5/2 e aplicar a fórmula do valor médio.

Passo 2

Pela definição, o valor médio de f em [a,b] é dado por 1b-aintegrala^b f(t),dt. Aqui, a=-1 e b=5/2, logo

Passo 3

Para calcular a integral, achamos a antiderivada de cada termo. Usamos que integralcos(pi t),dt=tfrac1pisin(pi t). Assim,

Passo 4

Agora avaliamos F(t) em t=5/2 e t=-1 e subtraímos para obter a integral definida. Em t=5/2:

Passo 5

Em t=-1:
$$\n F(-1)=-\frac{1}{3}-\frac{5}{2}=-\frac{17}{6}.
$$

Passo 6

Logo,

Passo 7

Para obter o valor médio dividimos pela largura do intervalo b-a=5/2-(-1)=7/2:

Resposta

127pi-136

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