Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral
. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que nos ajuda a simplificar integrais complicadas trocando variáveis.
Passo 2
Primeiro, escolhemos uma substituição que facilite a integral. Vamos definir
. Essa escolha é útil porque o denominador da fração dentro da raiz quadrada é exatamente
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para substituir o diferencial
. Derivando
, temos:
Isso nos permite expressar
em termos de
:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Aqui, simplificamos a expressão substituindo e reorganizando os termos.
Passo 5
Agora, integramos
em relação a
:
Portanto, temos:
Passo 6
Por fim, voltamos à variável original
substituindo
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a
.