integral 5 xraiz9-4 x^2 d x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral integral 5 xraiz9-4 x^2 dx. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que nos ajuda a simplificar integrais complicadas trocando variáveis.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição que facilite a integral. Vamos definir u = 9 - 4x^2. Essa escolha é útil porque o denominador da fração dentro da raiz quadrada é exatamente 9 - 4x^2.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para substituir o diferencial dx. Derivando u = 9 - 4x^2, temos:
dudx = -8x Rightarrow du = -8x , dx
Isso nos permite expressar x , dx em termos de du:
x , dx = -du8

Passo 4

Substituímos u e du na integral original:
integral 5xraiz9 - 4x^2 dx = integral 5xraizu dx = integral 5 (-du8)raizu = -58 integral u^-1/2 du
Aqui, simplificamos a expressão substituindo e reorganizando os termos.

Passo 5

Agora, integramos u^-1/2 em relação a u:
integral u^-1/2 du = 2u^1/2
Portanto, temos:
-58 cdot 2u^1/2 = -54 raizu

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original x substituindo u = 9 - 4x^2:
-54 raiz9 - 4x^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a - 54 raiz9 - 4x^2 + C.

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