integral 7 x e^x^25+3 e^x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado que temos é:
integral 7 x e^x^25 + 3 e^x^2 , dx
Aqui, estamos lidando com uma integração que envolve funções exponenciais e polinomiais. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a integral transformando-a em uma forma mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos chamar de $ u $ para facilitar a substituição. Observando o denominador $ 5 + 3 e{x{2}} $ e o numerador $ 7 x e{x{2}} $, percebemos que $ e{x{2}} $ é uma boa candidata para $ u $.
Então, vamos definir:
u

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $, ou seja, $ du/dx $. Isso é importante porque a substituição requer que expressemos $ dx $ em termos de $ du $.
Derivando $ u $:
u
Portanto,
x

Passo 4

Agora, vamos resolver para $ x e{x{2}} , dx $:
x e^x^2 , dx
Isso nos ajuda a substituir partes da integral original em termos de $ u $.

Passo 5

Vamos reescrever a integral original usando nossa substituição:
Originalmente temos:
integral 7 x e^x^25 + 3 e^x^2 , dx = integral 7 cdot ( x e^x^2 , dx )u = integral 7 cdot ( du6 )u
Simplificando os coeficientes:
integral 76 cdot duu = 76 integral duu

Passo 6

A integral de $ \frac{1}{u} $ em relação a $ u $ é o logaritmo natural de $ u $:
1u
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos à variável original $ x $ substituindo $ u $ pela expressão que definimos no Passo 2:
x

Resposta

A integral resolvida é:
integral 7 x e^x^25 + 3 e^x^2 , dx = 76 ln|5 + 3 e^x^2| + C

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