Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma integração que envolve funções exponenciais e polinomiais. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a integral transformando-a em uma forma mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos chamar de $ u $ para facilitar a substituição. Observando o denominador $ 5 + 3 e{x{2}} $ e o numerador $ 7 x e{x{2}} $, percebemos que $ e{x{2}} $ é uma boa candidata para $ u $.
Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $, ou seja, $ du/dx $. Isso é importante porque a substituição requer que expressemos $ dx $ em termos de $ du $.
Derivando $ u $:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos resolver para $ x e{x{2}} , dx $:
Isso nos ajuda a substituir partes da integral original em termos de $ u $.
Passo 5
Vamos reescrever a integral original usando nossa substituição:
Originalmente temos:
Simplificando os coeficientes:
Passo 6
A integral de $ \frac{1}{u} $ em relação a $ u $ é o logaritmo natural de $ u $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Agora, voltamos à variável original $ x $ substituindo $ u $ pela expressão que definimos no Passo 2:
Resposta
A integral resolvida é: