Calcule o valor médio das funções nos intervalos indicados:
f(x)=2+5 cos (x) [-pi, pi]

Passo 1

Neste exercício queremos calcular o valor médio da função f(x)=2+5cos(x) no intervalo [-pi,pi]. O conteúdo é valor médio de função via integração, e vamos usar a definição bar f=1b-aintegrala^b f(x),dx além de calcular integrais de funções constantes e de cosseno.

Passo 2

Aplicando a definição ao intervalo com a=-pi e b=pi, obtemos
[\n\bar f = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \bigl(2 + 5\cos(x)\bigr),dx.
]

Passo 3

Para calcular a integral, separamos em duas partes:
[\n\int_{-\pi}^{\pi} 2,dx = 2x \Big|{-\pi}^{\pi} = 4\pi,
]
[\n5 \int
{-\pi}^{\pi} \cos(x),dx = 5\bigl(\sin(x)\bigr) \Big|{-\pi}^{\pi} = 0.
]
Assim,
[\n\int
{-\pi}^{\pi} \bigl(2+5\cos(x)\bigr),dx = 4\pi + 0 = 4\pi.
]

Passo 4

Dividindo pelo comprimento do intervalo 2pi, obtemos
[\n\bar f = \frac{4\pi}{2\pi} = 2.
]

Resposta

2

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