Calcule o valor médio das funções nos intervalos indicados:
Passo 1
Neste exercício queremos calcular o valor médio da função
no intervalo
. O conteúdo é valor médio de função via integração, e vamos usar a definição
além de calcular integrais de funções constantes e de cosseno.
Passo 2
Aplicando a definição ao intervalo com
e
, obtemos
[\n\bar f = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \bigl(2 + 5\cos(x)\bigr),dx.
]
]
Passo 3
Para calcular a integral, separamos em duas partes:
[\n\int_{-\pi}^{\pi} 2,dx = 2x \Big|{-\pi}^{\pi} = 4\pi,
]
[\n5 \int{-\pi}^{\pi} \cos(x),dx = 5\bigl(\sin(x)\bigr) \Big|{-\pi}^{\pi} = 0.
]
Assim,
[\n\int{-\pi}^{\pi} \bigl(2+5\cos(x)\bigr),dx = 4\pi + 0 = 4\pi.
]
]
[\n5 \int{-\pi}^{\pi} \cos(x),dx = 5\bigl(\sin(x)\bigr) \Big|{-\pi}^{\pi} = 0.
]
Assim,
[\n\int{-\pi}^{\pi} \bigl(2+5\cos(x)\bigr),dx = 4\pi + 0 = 4\pi.
]
Passo 4
Dividindo pelo comprimento do intervalo
, obtemos
[\n\bar f = \frac{4\pi}{2\pi} = 2.
]
]
Resposta
2